Was ist die entsprechende Symmetrie der Enstrophie-Erhaltung?

Die Enstrophie einer Strömung ist wie folgt definiert, wobei$\boldsymbol\omega$ist das Wirbelfeld

$$\mathcal{E} = \iint \frac{\boldsymbol \omega^2}{2} \, d\mathbf{S}$$ Enstrophie wird nur in 2 Dimensionen gesprochen. Dies liegt daran, dass der Vortrex-Dehnungsterm $\boldsymbol \omega \cdot \nabla \mathbf{u} = 0$erst im 2d. In 3D kann es verwendet werden, um die Enstrophie des Flusses zu sprengen oder zu verringern.

Wir lesen die Erhaltung der Enstrophie wie folgt

$$\frac{\partial}{\partial t}\iint \frac{\boldsymbol \omega^2}{2} \, d\mathbf{S} = 0$$ Die Erhaltung der Enstrophie ist ein Ergebnis der Schiefsymmetrie im Konvektionsoperator $c$in seiner trilinearen Form wie folgt $$c((u, v), w) = - c((u, w), v)$$ Dies liegt daran, dass in der vollständigen Gleichung für die Entwicklung der Enstrophie der trilineare Term in 2d verschwindet. $$\frac{\partial}{\partial t}\iint \frac{\boldsymbol \omega^2}{2}d\mathbf{S} = -\frac{\nabla \boldsymbol\omega^2}{\mathrm{Re}} + c((\boldsymbol\omega, \boldsymbol u), \boldsymbol\omega)$$ Was sicherstellt, dass in 2d die Entropie einer Strömung erhalten bleibt.