Welche Symmetrie ist mit dem Erhaltungssatz der lokalen Teilchenzahl für Flüssigkeiten verbunden?

Der Satz von Noether in seiner üblichen Form geht davon aus, dass das System (in diesem Fall eine Flüssigkeit) von einem Aktionsprinzip beherrscht wird. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass das Fluid nur aus einer Sorte von Fluidteilchen besteht.

I) Im Lagrange-Fluidbild ist die (lokale) Erhaltung der Fluidteilchen von Anfang an evident, da die dynamischen Variablen die Labels sind${\bf a}$der Fluidpartikel.

Wir gehen davon aus, dass die Labels so gewählt sind, dass die Massendichte im Label${\bf a}$-space (im Gegensatz zu position${\bf r}$-Leerzeichen) ist eine Konstante. Dann ist die Teilchenerhaltung gleich der Massenerhaltung

$$\tag{1} \frac{D\rho }{Dt} +\rho {\bf \nabla} \cdot {\bf u} ~\equiv~ \frac{\partial \rho }{\partial t} + {\bf \nabla} \cdot (\rho {\bf u})~=~ 0.$$

II) Im Eulerschen Flüssigkeitsbild die Massendichte$\rho$ist ein dynamisches Feld. Die Massenerhaltung (1) wird durch die Euler-Lagrange-Gleichung für die ungepaarte Variable auferlegt$\phi$im Clebsch-Geschwindigkeitspotential

$$\tag{2} {\bf u}~=~{\bf \nabla}\phi +\ldots.$$

Die entsprechende globale Symmetrie ist$\phi \to \phi+ \text{const}.$

Verweise:

1. R. Salmon, Hamiltonsche Strömungsmechanik, Ann. Rev-Flüssigkeit. Mech. (1988) 225 . Die pdf-Datei kann von der Homepage des Autors heruntergeladen werden .

Ich denke nicht, dass Sie die Teilchenerhaltung als Erhaltungssatz im Kontext der klassischen Physik betrachten sollten. Wie Qmechanic in einem klassischen System sagt, ist die Teilchenzahl die Anzahl der Freiheitsgrade und wird als Definition des Problems festgelegt. Sobald wir entschieden haben, wie viele Teilchen dort sein werden, können wir eine Lagrange-Funktion schreiben, ihre Symmetrien untersuchen und erhaltene Ladungen finden.

Im Falle der Fluiddynamik gibt es unendlich viele Teilchen. Die Dichte, die an die Stelle der Teilchenzahl tritt, ist eine thermodynamische Größe. Seine Dynamik (und die damit verbundenen Erhaltungssätze) wird dann durch die Wahl der Zustandsgleichung festgelegt. Wir könnten uns eine Flüssigkeit vorstellen, die aus Partikeln besteht, die sich auflösen, wenn sie in engen Kontakt kommen. Eine Erhöhung der Dichte würde dann mehr Zerfall verursachen, was wiederum die Dichte wieder verringern würde. Die (Gleichgewichts-)Zustandsgleichung würde hohe Dichten verbieten und die Kontinuitätsgleichung hätte einen zusätzlichen Verlustterm.

Die Hydrodynamik ist im Grunde eine Liste von Erhaltungsgesetzen. Woher diese kommen, weiß er allerdings nicht. Um hydrodynamische Strömungsgleichungen zu schreiben, gehen wir davon aus, dass es eine zugrunde liegende Thermodynamik gibtTeilchensystem und dass es von einem Hamiltonianer beschrieben wird. Jedes Fluidelement befindet sich jedoch im thermischen Gleichgewicht, so dass es unendlich viele Freiheitsgrade gibt, die nicht durch die hydrodynamischen Gleichungen beschrieben werden und Energie, Impuls und (wenn Sie ein entsprechendes Beispiel erfinden) Teilchen aufnehmen (oder abgeben) können. Das ist der Ursprung der Viskosität und der Grund, warum wir eine zusätzliche Zustandsgleichung benötigen, um die hydrodynamischen Gleichungen zu schließen. Dann wissen wir, dass Energie und Impuls erhalten bleiben (weil es einen zugrunde liegenden Hamilton-Operator gibt und wir die auf das System ausgeübten Kräfte extern steuern), sodass wir die Erhaltungssätze einfach in Form der thermodynamischen Größen schreiben können: Dichte, lokale Durchschnittsgeschwindigkeit, usw.

Anders verhält es sich jedoch in der Quantenfeldtheorie. Dort können Teilchen in Energie und zurück umgewandelt werden und wir betrachten Systeme, bei denen die Teilchenzahl nicht festgelegt ist. In diesem Fall gibt es eine Symmetrie, die Teilchenerhaltung erzeugt: Gesamtphasenrotationen. In der Quantenphysik sind die Freiheitsgrade komplexe Zahlen. Ihre Gesamtphase ist jedoch physikalisch nicht beobachtbar und beeinflusst die Dynamik nicht. Wenn alle Objekte der Theorie mit der gleichen komplexen Zahl von Modulen gleich eins multipliziert werden , bleibt der Lagrange-Operator unbeeinflusst. Wir haben eine Symmetrie und das entsprechende Erhaltungsgesetz ist Teilchenerhaltung (oder Ladungserhaltung, wenn die Teilchen geladen sind).

Beachten Sie, dass ich 'R. Salmon, Hamiltonsche Strömungsmechanik, Ann. Rev-Flüssigkeit. Mech. (1988) 225'. (Siehe die Antwort von Qmechanic.) Ich weiß nicht, ob (und wie) es möglich ist, einen Hamiltonian für die Fluiddynamik zu schreiben, oder ob er Erhaltungssätze ergibt. Aber selbst wenn dies möglich ist, ziehe ich es vor, die Hydrodynamik als eine phänomenologische Theorie zu betrachten, die durch das Aufschreiben von Erhaltungssätzen "erraten" wird.