Was ist die maximale Leistung, die von einem Magnetfeld zur Verfügung steht?

Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld. In deinem Beispiel$c$ $\rightarrow$ $\infty$-- Ich werde in dieser Grenze arbeiten, damit wir Effekte zweiter Ordnung loswerden können (dh die quasi-statische Annäherung). Die relevante Maxwell-Gleichung ist

$$\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}.$$

Wir wissen, dass sich das Magnetfeld nach der Rechtsregel um den Draht windet. Nehmen wir als Beispiel den Strom$I(t)=I_0t$so dass${\bf B}({\bf r},t)=B(r)t{\bf \hat{\phi}}$Wo$B(r)=\frac{B_0}{r}$. Dann

$$\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}=-\frac{B_0}{r}{\bf \hat{\phi}}$$ was zeitlich konstant ist. Wir können den Satz von Stoke verwenden, um nach zu lösen ${\bf E}$: $$\int \nabla \times {\bf E} \cdot d{\bf A}=\int {\bf E} \cdot d{\bf l}=-B_0\int \frac{1}{r}\hat{\phi}\cdot d{\bf A}$$

Wo$d{\bf A}=drdz\hat{\phi}$Und$d{\bf l}=dz\hat{z}$. Integrieren von$r=a$Zu$r=b$:

$$E(a)-E(b)=-B_0\ln(b/a)$$

also das im allgemeinen

$${\bf E}(r) \approx B_0\ln(r)\hat{z}.$$

Dies ist das elektrische Feld, das auf Ladungen wirkt. Das Magnetfeld wirkt aufgrund des Lorentz-Kraftgesetzes nicht auf die Ladungen. Obwohl das Magnetfeld entlang der Spulen zeigt, werden die Ladungen in kleine Kreise gelenkt und verursachen keinen Nettostromfluss. Einfacher,${\bf B} \cdot {\bf v} = 0.$

Zunächst einmal fehlt Ihrer Formel für die Energiedichte ein Term für das elektrische Feld:

$$w(t)=\frac{\varepsilon_0 e^2(t)}{2}+\frac{b^2(t)}{2\mu_0 }$$

Sie haben immer ein elektrisches Feld, wenn das Magnetfeld zeitlich veränderlich ist.

Dies ist jedoch für die eher konzeptionelle Frage, mit der Sie zu kämpfen scheinen, nicht so wichtig. Ich denke, eine gute Analogie, um Ihnen hier zu helfen, ist, sich diese Energie als Wasserreservoir mit einem Zufluss und einem Abfluss vorzustellen. Die Änderung der Wassermenge im Reservoir ist der Zufluss abzüglich des Abflusses. Aber der Durchfluss durch das Reservoir kann viel größer sein als die Wasseränderung im Reservoir. Wenn zum Beispiel der Zufluss gleich dem Abfluss ist, ändert sich das Wasser im Reservoir nicht, obwohl es einen Fluss durch das Reservoir gibt.

Ebenso kann die durch eine Volumeneinheit fließende elektromagnetische Energie viel größer sein als$dw(t)/dt$. Was es in Ihrem Beispiel ist und wie dieser Energiefluss "eingefangen" werden könnte, überlasse ich jemand anderem.