Ist die induzierte EMF proportional zum Quadrat der Windungszahl eines Solenoids?

Damit diese Frage klar ist, muss ich zuerst etwas Kontext geben:

Stellen Sie sich ein 10 cm langes Solenoid (Solenoid A) mit einem Radius von etwa 1 cm und 400 Windungen vor.

Lassen Sie den Strom herein$A$,$I_A$, ändern sich mit der Zeit langsam,$I_A = I_0(t)$damit Sie den Verschiebungsstrom ignorieren können.

i) Wie groß ist der momentane magnetische Fluss im Solenoid?

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Der momentane magnetische Fluss im Solenoid ist gegeben durch$\Phi =BS$.

Das Magnetfeld$B$kann aus dem Ampere-Gesetz (ohne Berücksichtigung des Verschiebungsstroms) ermittelt werden:

$$\oint \vec B \cdot d\vec \ell=\mu_0I_{\ell}=\mu_0NI_0(t)\tag{1}$$ Wo$I_{\ell}=NI_0(t)$ist der Gesamtstrom aufgrund von$N$schaltet jeweils mit Strom$I_0(t)$

Das Gebiet ist$S=\pi \times 10^{-4}$M${^2}$

Verwenden$(1)$,$B\,L=\mu_0 N\,I_0(t)$; das Magnetfeld$B=\mu_0 \frac{N}{L}I_0(t)$Wo$L$ist die Länge des Solenoids . Der Fluss$\Phi$Somit

$$\Phi =BS=\mu_0 \frac{N}{L}I_0(t)S=4\pi \times 10^{-7}\times 4\times 10^3 \times \pi \times 10^{-4}I_0(t)=16\pi^2\times 10^{-8}I_0(t)$$ $$\approx 1.5 \times 10^{-6}I_0(t)$$ das ist die richtige Antwort.

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(ii) Ein Voltmeter ist über das Solenoid angeschlossen. Das Messgerät misst$\oint \vec E \cdot d \vec \ell$entlang des Drahtes integriert. Leiten Sie einen Ausdruck für die gemessene Spannung ab (ignorieren Sie den Widerstand).

Nach dem Faradayschen Gesetz ist die induzierte Spannung pro Längeneinheit

$$\oint \vec E \cdot d \vec \ell= \frac{d\Phi}{dt}=-\mu_0 \frac{N}{L}S\frac{d I_0(t)}{dt}\approx -1.5 \times 10^{-6}\frac{d I_0(t)}{dt}\tag{2}$$ Also die Gesamtspannung $$V=0.1\oint \vec E \cdot d \vec \ell\approx -1.5 \times 10^{-7}\frac{d I_0(t)}{dt}$$

Dies ist die falsche Antwort und die richtige Antwort ist im Grunde genommen

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{V=400\oint \vec E \cdot d \vec \ell\approx 6 \times 10^{-4}\frac{d I_0(t)}{dt}}$$

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Aus dimensionalen Gründen war es mein Verständnis, dass die linke Seite des Faradayschen Gesetzes,$(2)$gibt die Einheitszirkulation des elektrischen Feldes an, oder$\unicode{x222F}(\nabla \times \vec E)\cdot d \vec S$(nach Stokes-Theorem).

Aber um die Spannung zu finden$V$ über die Magnetspule müssen wir über ihre Länge integrieren, damit die Einheiten durch gegeben sind

$\bbox[yellow, 5px] {\text{number of turns}\times \text{rate of change of flux} \propto N \times \frac{d\Phi}{dt}\propto \mu_0 \frac{N}{L}S\frac{d I_0(t)}{dt}\times L}$

Aber in dem rot markierten Feld multipliziert der Autor einfach mit der Anzahl der Windungen$N$, was bedeutet, dass dimensional die rechte Seite des Faradayschen Gesetzes ist

$\bbox[#F85, 5px]{\text{number of turns}^2\times \text{rate of change of flux} \propto N^2 \times \frac{d\Phi}{dt}\propto \mu_0 \frac{N^2}{L}S\frac{d I_0(t)}{dt}}$

Wir haben also keine Einheitszirkulation mehr, aber besorgniserregender ist, dass die Einheiten das Quadrat der Anzahl der Umdrehungen sind. Ist das wirklich richtig?

Ich habe das Faradaysche Induktionsgesetz überprüft , damit ich das weiß

$$\mathcal{E} = -N\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}\ne -N^2\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}$$ Offensichtlich verfehle ich den Punkt, also wenn jemand es mir bitte erklären könnte, wäre das großartig.