Das Faradaysche Gesetz zweimal anwenden

Ich habe Probleme, das Faradaysche Gesetz zu verstehen, wenn es einen induzierten Strom gibt, der wiederum einen anderen Strom im selben Stromkreis induziert. Ich werde meine Verwirrung mit einem Hausaufgabenproblem veranschaulichen und versuchen, es schrittweise zu formulieren, um wirklich zu versuchen, die Verwirrung zu lokalisieren.

Für die folgende Schaltung mit einer einzelnen Schleife mit einem Widerstand und einem zeitabhängigen Strom ICH 2 ( T ) Das Faradaysche Gesetz gibt:

∮ E → ⋅ D l → = − L 2 D ICH 2 D T = R 2 ICH 2

Wo L 2 ist die Selbstinduktivität der Schleife.

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Als nächstes schauen wir uns die folgende Schaltung an:

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Nun zu dieser Schaltung ICH 2 ist der induzierte Strom aus ICH 1 (Dies wird als Tatsache angegeben). Die Schleife erfährt nun einen induzierten Strom von dem langen Draht, und dieser induzierte Strom führt wiederum zu einem selbstinduzierten Strom. Ich stelle mir vor, dass der selbstinduzierte Strom sofort auftritt, wenn der induzierte Strom aus dem Draht auftritt, was bedeutet, dass man bei der Auswertung des Integrals des geschlossenen Regelkreises zwei Konten für diese beiden Ströme (oder Spannungen) hat. Ich bin mir meiner eigenen Argumentation hier etwas unsicher und könnte leicht versuchen, das Gegenteil zu argumentieren, dass man den selbstinduzierten Strom nicht bereits berücksichtigen sollte. Mit dem zuvor Gesagten sollte das Faradaysche Gesetz jedoch ergeben:

∮ E → ⋅ D l → = − L 12 D ICH 1 D T = R 2 ICH 2 − L 2 D ICH 2 D T

Aber das ist laut meinem Professor, der geschrieben hat, falsch

L 12 D ICH 1 D T = R 2 ICH 2 + L 2 D ICH 2 D T

zu dem, was er "Kirchoffs Spannungsgesetz" nannte, was impliziert, dass diese drei Terme Spannungen sind, was mich verwirrt, da es drei Spannungen geben kann, wenn es nur zwei Ströme in der Schleife gibt (mit einem einzigen Widerstand), dem induzierten ICH 2 und das selbst herbeigeführte aus ICH 2 . Die Schleife hat eigentlich nicht drei Spannungen? Ich vermute, dass man die obige Gleichung nicht als drei Spannungen in der Schleife sehen sollte, sondern als zwei Spannungen in der Schleife, die einer Spannung entsprechen muss, die aufgrund der Induktion nicht die Schleife ist? Nicht nur die Spannungen verwirren mich, sondern auch die Vorzeichen, glaube ich R 2 ICH 2 sollte entgegengesetztes Vorzeichen zu den beiden anderen Termen haben. Wo liege ich falsch und wie kann man meine Verwirrung lösen?

Vielen Dank im Voraus, dass Sie sich die Zeit genommen haben, es zu lesen und vielleicht sogar etwas zu klären.

Antworten (2)

Das Faradaysche Gesetz gibt uns im ersten Beispiel den Wert der selbstinduzierten EMF als an

− L 2 D ICH 2 D T ;
dies ist in Bezug auf

  • Änderungsrate des Stroms ICH 2 in der Schleife und
  • Selbstinduktionskonstante L 2 , was immer positiv ist.

Das sagt es uns nicht

− L 2 D ICH 2 D T = R 2 ICH 2 ;
Diese letztere Gleichung ist ein Ergebnis des zweiten Kirchhoffschen Schaltungsgesetzes, das manchmal verwirrend als Kirchhoffs Spannungsgesetz (KVL) bezeichnet wird.

Dieses Gesetz besagt eigentlich Folgendes:

Für jeden einfachen geschlossenen Pfad (Schleife) aus leitenden Elementen k = 1.. N , Summe aller Terme R k ICH k , Wo ICH k ist aktuell im Element k , Und R k ist sein ohmscher Widerstand, gleich der Summe aller elektromotorischen Kräfte E ich , ich = 1.. M , wirkt auf die Schleife:

∑ k = 1 N R k ICH k = ∑ ich = 1 M E ich .

Dieses Gesetz kann als Verallgemeinerung des Ohmschen Gesetzes angesehen werden, das besagt, dass die Potentialdifferenz gleich dem Strom mal dem Widerstand ist; die Verallgemeinerung besteht darin, von einem einfachen Element zu einer Schleife zu gehen und die Potentialdifferenz durch eine elektromotorische Kraft zu ersetzen, ein allgemeineres Konzept.

Dieses Gesetz gilt nicht nur, wenn alle EMFs auf chemische Zellen/Batterien in der Schleife zurückzuführen sind, sondern auch, wenn einige oder alle EMFs auf EM-Induktion zurückzuführen sind.

Deshalb ist der Name „Kirchhoffsches Spannungsgesetz“ und seine Formulierung in Form von Spannungen (Summe der Spannungen in der Schleife gleich Null) oft verwirrend: Obwohl es immer stimmt, stehen oft keine relevanten Spannungen (=Potenzialunterschiede) zur Verfügung , aber stattdessen gibt es EMFs. Im vorliegenden Fall ist in Bezug auf EMF auf die Originalfassung der Gesetzesformulierung zurückzugreifen.

In Ihrem einfachen Fall eines Stromkreises ist die Summe aller elektromotorischen Kräfte aufgrund des Faradayschen Gesetzes nur die selbstinduzierte EMF:

E = − L 2 D ICH 2 D T .

Das zweite Kirchhoffsche Gesetz impliziert dann also

− L 2 D ICH 2 D T = R 2 ICH 2 .

Im zweiten Fall haben wir zwei Stromkreise und der erste hat einen Gesamtstrom ICH 1 und die zweite hat Gesamtstrom ICH 2 , die Summe aller elektromotorischen Kräfte im Kreis 2 hat nun auch einen neuen Term durch Wirkung des Kreises 1:

E = − L 2 D ICH 2 D T − L 12 D ICH 1 D T .

Das Vorzeichen vor dem Begriff wird wieder konventionell als Minus gesetzt; Dies ist die natürlichste Wahl, denn wenn die beiden Stromkreise eine sehr ähnliche Form haben, übereinander gelegt sind und den gleichen Strom mit der gleichen Änderungsrate haben, hat die induzierte EMF aufgrund von Stromkreis 1 in Stromkreis 2 die gleiche Richtung wie selbst -induzierte EMF in Stromkreis 2, also ist es am besten zu setzen L 12 als positiv und lassen Sie das Minuszeichen vor dem Begriff stehen.

In Ihrem zweiten Beispiel hat der erste Stromkreis jedoch keine "ähnliche Form und über dem anderen Stromkreis". Obwohl der erste Stromkreis nicht vollständig spezifiziert ist, können wir stattdessen sehen/annehmen, dass sich der nächstgelegene Teil des Stromkreises 1 auf der linken Seite des Stromkreises 2 befindet. Wir verwenden weiterhin dieselbe Konvention und setzen ein Minus vor dem EMF-Begriff, aber jetzt ist es möglich, dass L 12 kann negativ sein. Es kann auch positiv sein.

Wir können herausfinden, welche dieser beiden Möglichkeiten der Fall ist, indem wir die Wirkung des Stroms analysieren ICH 1 Erhöhung des magnetischen Flusses durch den Kreis 2 (positive Richtung ist vom Bildschirm in Richtung der Augen). Wenn der Effekt der gleiche ist wie der Effekt der Erhöhung von ICH 1 , Dann L 12 ist genauso positiv L 2 Ist. Wenn die Wirkung der Erhöhung von entgegengesetzt ist ICH 2 , Dann L 12 muss negativ sein.

In Ihrem Bild, wo sich das nächste Stromelement von Stromkreis 1 links von Stromkreis 2 befindet, sehen wir diesen Stromanstieg ICH 1 erhöht den magnetischen Fluss in Richtung von den Augen zum Bildschirm, was dem Anstieg des Stroms entgegengesetzt ist ICH 2 tut. Also die Gegeninduktivität L 12 ist negativ.

Wenn wir jedoch das Element von Schaltung 1 rechts von Schaltung 2 platzieren, würde sich die Richtung des Magnetfelds aufgrund von Schaltung 1 im Bereich von Schaltung 2 zu „vom Bildschirm zu den Augen“ und damit zur gegenseitigen Induktivität ändern L 12 wäre positiv.

Ihre Antwort war sehr hilfreich. Tut L 2 D ICH 2 D T Und L 12 D ICH 1 D T haben entgegengesetzte Vorzeichen aufgrund des Flusses, denn jeder ist in Übereinstimmung mit dem Lenzschen Gesetz in entgegengesetzter Richtung? Wenn das der Fall ist und nehmen wir an, die Zeichen sind wie folgt ∮ E → ⋅ D l → = − L 12 D ICH 1 D T + L 2 D ICH 2 D T wie soll man nun feststellen, dass dies gleich sein soll − R 2 ICH 2 und nicht R 2 ICH 2 ?
Nein, beide Begriffe müssen mit vorangestelltem Minuszeichen geschrieben werden, es ist aber möglich L 12 kann eine negative Zahl sein. Total EMK ist also immer − L 12 D ICH 1 D T − L 2 D ICH 2 D T , und manchmal L 12 ist negativ, abhängig von der Position der Schaltkreise im Raum. Verwenden Sie nun das zweite Kirchhoffsche Gesetz wie oben angegeben. Wir erhalten − L 12 D ICH 1 D T − L 2 D ICH 2 D T = R 2 ICH 2 .

Tut mir leid für mein schlechtes Englisch. Meine Muttersprache ist Französisch.

Ich denke, dass es eine Schwierigkeit im Zusammenhang mit der Ausrichtung der Schaltungen gibt.

Generell solltest du schreiben: ∮ E → ⋅ D l → = − L 2 D ICH 2 D T − L 12 D ICH 1 D T = R 2 ICH 2  

Aber mit den gewählten Ausrichtungen der Koeffizient L 12 ist negativ. Wenn wir es positiv auferlegen, müssen wir das Vorzeichen ändern: ∮ E → ⋅ D l → = − L 2 D ICH 2 D T + L 12 D ICH 1 D T = R 2 ICH 2  

Guter Punkt zum allgemeinen Fall. Mir ist gerade klar geworden, dass man eine Überlagerung des Magnetfeldes aus machen sollte ICH 1 Und ICH 2 und das wird auf der rechten Seite des Faradayschen Gesetzes sein, D D T ( ϕ B 1 + ϕ B 2 ) = − L 2 D ICH 2 D T − L 12 D ICH 1 D T . Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege. Allerdings kann ich immer noch nicht sehen, warum L 12 sollte bei dieser Ausrichtung negativ sein (was es auf der linken Seite positiv macht, wie Sie es getan haben). Und mit Ausrichtung meinst du das geschlossene Integral im Uhrzeigersinn gegen den Uhrzeigersinn?
Sollte eigentlich nicht ϕ B 1 Und ϕ B 2 nach dem Lenzschen Gesetz entgegengesetzte Vorzeichen haben? Dies wird dann, glaube ich, das Vorzeichenproblem beheben
Stellen Sie sich einen positiven Strom vor ICH 1 . Dann wäre das Magnetfeld auf der Rückseite des Bildschirms. Wohingegen mit der positiven Richtung für ICH 2 angedeutet, die Normale zum Kreis (2) zeigt uns zu. Also für einen positiven Strom ICH 1 , wäre der Fluss negativ und so L 12 ist negativ.
Genau, das Flussmittel aus ICH 1 Und ICH 2 hat entgegengesetzte Richtungen und daher entgegengesetztes Vorzeichen. Aber wie ermittelt man nun die Anmeldung R 2 ICH 2 ?
Die Regel ist einfach: Die Zirkulation des elektrischen Feldes entlang der positiven Richtung für den Strom (EMK) ist gleich R ich . Dies ist eine unmittelbare Folge des Ohmschen Gesetzes. Bei Induktionsproblemen ist es praktisch, Regeln zu haben, die gelten, ohne darüber nachdenken zu müssen. Offensichtlich ist Nachdenken nützlich und das Überprüfen des Lenzschen Gesetzes eine gute Idee. Aber manchmal müssen wir es schnell und ohne Fehlerrisiko tun. Es ist auch nützlich, daran zu denken, dass die gegenseitige Induktivität ein Vorzeichen hat, das von der Wahl der relativen Ausrichtung der beiden Kreise abhängt. Danach schreiben Sie die Gleichung ist einfach.
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