Ableitung der Eigeninduktivität eines langen Drahtes

Die ursprüngliche Frage sprach von einer Diskrepanz zwischen dem Ergebnis, das durch direkte Berechnung des Flusses und der Verwendung der Definition erhalten wurde$L= \Phi/I$. Die Verwirrung entsteht aufgrund eines Konzepts, das als "Flussverbindung" bekannt ist. Wenn Sie den Fluss berechnen, der von der Einheitslängenregion zwischen r und r+dr eingeschlossen ist, haben Sie einen Ausdruck für den Fluss berechnet, den Sie integriert haben, um den Gesamtfluss zu erhalten. Der gesamte von Ihnen berechnete Fluss ist jedoch nicht mit dieser Fläche „verbunden“, da der von der Kontur dieses Radius eingeschlossene Strom nur ein Bruchteil ist$\pi r^2/R^2$des Gesamtstroms. Somit ist der verknüpfte Fluss$d\Phi= \dfrac{\mu_0 I r dr}{2\pi R^2} \dfrac{\pi r^2}{\pi R^2}$. Wenn Sie diesen Ausdruck integrieren, erhalten Sie das richtige Ergebnis.

Ich weiß, dass dieser Beitrag alt ist und beantwortet wurde. Ich dachte, ich würde die genaue Ableitung posten, um in Zukunft jemandem zu helfen.

Um die innere Induktivität eines Drahtes zu berechnen, müssen wir die Gleichung für die Energie des Magnetfeldes mit der Energie aus der Induktivität/Induktivität gleichsetzen.

Energie der$B$Feld: $\frac{1}{2\mu}\int B^2dV$, wo$B$ist über den gesamten Raum integriert.

Energie eines Induktors: $\frac{1}{2}LI^2$

Um nach dem Magnetfeld B zu lösen, verwenden wir eine Ampersche Schleife -$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu I_{enc}$
Zuerst nehmen wir an, dass der Strom gleichmäßig über den Draht verteilt ist (was ein Grund dafür ist, dass diese Induktivität normalerweise vernachlässigt wird, bei höheren Frequenzen ist der Strom nicht gleichmäßig, sondern wird auf der Oberfläche des Drahtes getragen, was einen realeren Widerstand im Draht erzeugt Draht und weniger Eigeninduktivität). Mit gleichmäßigem Strom$I_{enc} = I\frac{\pi r^2}{\pi R^2}$für r$< R$wo$r$ist ein variabler Abstand innerhalb des Drahtes,$R$ist der Radius des Drahtes und I ist der Gesamtstrom, der durch den Draht fließt. Diese Gleichung ist ein einfaches Verhältnis der variablen Fläche zur Gesamtfläche des Drahtes multipliziert mit dem Gesamtstrom innerhalb des Drahtes, um den Strom für jede variable Menge des Drahtes zu ermitteln.

Setzen Sie dies nun wieder in die Ampere-Gleichung ein

Jetzt können wir die beiden Energiegleichungen gleichsetzen:

An diesem Punkt "vermasseln" manche Leute und bekommen eine unendliche Induktivität. Da das Magnetfeld außerhalb des Drahtes an nichts gekoppelt und nicht begrenzt ist, enthält es keine echte Energie (deshalb haben wir nach gelöst$B$nur innerhalb des Drahtes), jetzt gehen unsere Integrationen von$0$zu$R$in dem$r$Richtung,$0$zu$2\pi$in dem$\phi$Richtung und$0$zu$l$in dem$z$Richtung wo$l$ist die Länge des Drahtes. Diese integriert sich über den gesamten Draht.

Beachten Sie, dass in dieser Gleichung die$R$haben sich aufgehoben, was bedeutet, dass die Induktivität unabhängig vom Radius des Drahtes selbst ist. Hoffe, das hilft jemandem da draußen!

Bearbeiten 1: Ich glaube, ich habe Ihre Frage gerade verstanden: Sie versuchen tatsächlich, eine Art „innere“ Induktivität zu berechnen, dh den Beitrag zur Induktivität nur des Felds innerhalb des Leiters.

Bei der Berechnung des Flusses müssen Sie einen geschlossenen Pfad wählen, über den Sie die elektromotorische Kraft wünschen würden, und dann den magnetischen Fluss über die durch diesen Pfad begrenzte Oberfläche integrieren. Normalerweise wäre der Pfad der gesamte Stromkreis, aber da Sie nur am Beitrag des internen Feldes interessiert sind, haben Sie den Rückweg entlang der Kante des Drahtes gewählt, was in Ordnung ist. Jetzt müssen Sie den Vorwärtspfad wählen.

Der Vorwärtspfad sollte entlang der Stromlinien verlaufen. Das Problem ist, dass unterschiedliche Stromlinien unterschiedliche Flüsse ergeben. Dann können Sie den Fluss in Abhängigkeit davon berechnen, wo Sie im Querschnitt des Leiters den Vorwärtspfad nehmen. Da Sie aber die Niederfrequenznäherung verwenden (kein Skineffekt, dann gleichmäßige Stromdichte), können Sie die Vorwärtspfadabhängigkeit einfach über den gesamten Querschnitt mitteln. Dann erhalten Sie den fehlenden Faktor zwei.

In diesem alten Bulletin des Bureau of Standards wird ein etwas anderes Argument angeführt : Der Autor gewichtet stattdessen einzelne Flusslinien nach dem Bruchteil des Leiters, den sie umschließen. Dies ergibt den gleichen Faktor zwei.

Bearbeiten 2: Wie gewünscht, ein paar Klarstellungen.

Mit „magnetischen Fluss integrieren“ meine ich eigentlich „magnetischen Fluss berechnen“. Ich habe „Integrieren“ verwendet, weil die Berechnung ein Integral beinhaltet:

Ich habe von „Vorwärtsweg“ und „Rückweg“ gesprochen, denn wenn es sich nicht um eine Antenne handelt (wie die niederfrequente Annäherung nahelegt), ist ein Draht normalerweise Teil einer Übertragungsleitung, die aus mindestens zwei Leitern besteht. Angenommen, Sie verwenden ein Paar Drähte, um eine Quelle mit einer Last zu verbinden, wie in der folgenden Abbildung (ich hoffe, jeder kann Box Drawing-Zeichen sehen):

╔════════╗                 ╔════════╗
║        ╟→→→→→→→→→→→→→→→→→╢        ║
║ source ║   (flux here)   ║  load  ║
║        ╟←←←←←←←←←←←←←←←←←╢        ║
╚════════╝                 ╚════════╝

wobei die Pfeile den elektrischen Strom darstellen. Ich nehme an, der Draht, an dem Sie interessiert sind, ist der oberste, den ich „Vorwärtspfad“ genannt habe. Der untere Draht, den ich „Rückweg“ genannt habe, bringt den Strom zurück zur Quelle. Zusammengenommen bilden diese beiden Drähte eine Schleife und der Strom erzeugt einen gewissen magnetischen Fluss durch die Schleife. Wenn Sie dann versuchen, den Strom zu ändern, tritt aufgrund dieses Flusses eine gewisse elektromotorische Kraft auf, und Sie können dies als Wirkung eines Induktors entlang der Übertragungsleitung wie folgt modellieren:

╔════════╗                 ╔════════╗
║        ╟────(inductor)───╢        ║
║ source ║                 ║  load  ║
║        ╟─────────────────╢        ║
╚════════╝                 ╚════════╝

Dies ist die Selbstinduktivität der Übertragungsleitung, und ich dachte zuerst, Sie würden versuchen, sie zu berechnen.

Die Selbstinduktivität eines blanken Drahtes ist etwas schlecht definiert. Nun, es ist definiert, aber mit einigen Annahmen über die Oberfläche, über die der Fluss integriert werden soll, und es skaliert als$l\log\frac{l}{r}$, wodurch der Wert pro Längeneinheit logarithmisch divergiert, wenn ein beliebig langer Draht betrachtet wird, wie von Zassounotsukushi und mmc hervorgehoben. Sobald Sie den zweiten Draht hinzufügen, ist die Fläche, über die Sie den Fluss integrieren müssen, klar definiert und die Induktivität der Leitung skaliert$l\log\frac{d}{r}$, wo$d$ist der Abstand zwischen den Drähten. Keine logarithmische Divergenz mehr bzgl$l$. Andererseits hängt es logarithmisch vom Abstand zwischen den Drähten ab, daher können Sie nicht einfach davon ausgehen, dass der Rückweg gerade weit genug ist, um ignoriert zu werden. Übrigens ist der Rückweg nicht unbedingt ein Draht, er könnte zB eine Masseebene sein.

Für die spezielle Berechnung, die Sie durchführen (nur der Beitrag des Feldes innerhalb des Leiters), verwenden Sie eine sehr schmale Schleife, bei der der Rückweg durch eine Linie entlang der Kante des Leiters ersetzt wird, um nur das interne Feld einzuschließen.

Ursprüngliche Antwort unten , die etwas falsch ist, da ich dachte, Sie wären nach der gesamten Selbstinduktivität (einschließlich externem Feld) pro Längeneinheit eines unendlichen Drahtes. Die Kommentare von Georg beziehen sich auf diese Originalversion.

Man kann einem langen Draht nicht allein eine Induktivität zuweisen, man muss den ganzen Stromkreis betrachten. Der vom Kabel geführte Strom muss auf irgendeine Weise zurückkommen, und Sie müssen wissen, wie weit der Weg zurück von Ihrem Kabel entfernt ist.

Nehmen Sie für einen Moment an, dass der Draht tatsächlich der Innenleiter eines Koaxialkabels ist. Sie können die lineare Induktivität des Kabels in Abhängigkeit von Innen- und Außenleiterradius leicht berechnen. Lassen Sie nun den Außenradius auf unendlich gehen und Sie haben eine divergierende Selbstinduktivität! Das bedeutet, dass man in der Praxis nie davon ausgehen kann, dass der Rückweg „weit genug“ ist, um ihn zu ignorieren.

Bei gleichmäßiger Stromverteilung innerhalb eines langen Drahtes nimmt das Magnetfeld innerhalb des Leiters linear zu und außerhalb des Leiters umgekehrt mit dem Radius ab. Für die Außenseite des Leiters können wir ein Koaxialkabel mit unendlichem Außenradius annehmen. In diesem Fall nimmt das Quadrat des magnetischen Flusses mit dem inversen Quadrat von r ab und die Volumenintegration von Ri nach Ro (unendlich) ergibt einen endlichen Wert pro Längeneinheit des Drahtes.