Was ist die Position als Funktion der Zeit nach dem Übergang in einem gedämpft angetriebenen harmonischen Oszillator?

Das Problem wird in vielen Büchern behandelt, aber nirgends fand ich die Antwort auf diese Frage: sich fragen, was ist$x=x(t)$es sieht für mich nicht so trivial aus, weil es ein Vorzeichenproblem auftaucht, das ich nirgendwo finden kann. Lassen Sie mich erklären. Die Differentialgleichung, die die Bewegung regiert, kann geschrieben werden

$$\begin{equation}\tag{1} \ddot{x} + \frac{1}{a} \dot{x}+\omega_0^2 x = f_0 \sin \omega t \end{equation}$$ Wo$\omega_0$ist die richtige Frequenz,$\omega$ist die Frequenz der externen sinusförmigen Kraft,$f_0=\frac{F_0}{m}$(Sein$F_0$das Maximum der äußeren Kraft$F(t)=F_0 \sin \omega t$) Und$a=\frac{m}{c}$(Sein$c$die Reibungskonstante, denn worauf es ankommt, das Wichtigste hier ist, dass alle diese konstant sind). Nehmen wir an, die vernünftige Hypothese, dass die spezielle Lösung, nach der wir suchen, sinusförmig ist (mit anderen Worten, nehmen wir an, dass die zeitlich weit entfernte Bewegung unabhängig von den anfänglichen Randbedingungen sinusförmig sein wird, besteht das Problem darin, die Amplituden- und Phasenverschiebung zu finden mit Gewalt) $$\begin{equation}\tag{2} x(t) = x_0 \sin (\omega t - \phi) \end{equation}$$ Wenn wir trigonometrische Identitäten ausnutzen und Ableitungen machen, bekommen wir $$\begin{equation}\tag{3} x(t) = x_0 (\sin \omega t \cos \phi - \cos \omega t \sin \phi) \end{equation}$$ $$\begin{equation}\tag{4} \dot{x}(t) = x_0 \omega (\sin \omega t \sin \phi + \cos \omega t \cos \phi) \end{equation}$$ $$\begin{equation}\tag{5} \ddot{x}(t) = -x_0 \omega^2 (\sin \omega t \cos \phi - \cos \omega t \sin \phi) \end{equation}$$ Wenn ich die Differentialgleichung einsetze, kann ich das finden$x(t)$ist Lösung, wenn es das System erfüllt $$\begin{equation}\tag{6} \begin{cases} - \omega^2 \cos \phi + \frac{\omega}{a} \sin \phi + \omega_0^2 \cos \phi = \frac{f}{x_0} \\ \omega^2 \sin \phi + \frac{\omega}{ a } \cos \phi - \omega_0^2 \sin \phi = 0 \end{cases} \end{equation}$$ Ab dem zweiten haben wir $$\begin{equation}\tag{7} \sin \phi = \frac{\omega/a}{\omega_0^2 - \omega^2} \cos \phi \end{equation}$$ und durch Ersetzen in der ersten haben wir $$\begin{equation}\tag{8} \cos \phi = \frac{f_0}{x_0} \cdot \frac{\omega_0^2 - \omega^2}{(\omega/ a )^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2} \end{equation}$$ und durch Ersetzen von (8) in (7) erhalten wir $$\begin{equation}\tag{9} \sin \phi = \frac{f_0}{x_0} \cdot \frac{\omega / a}{(\omega/ a )^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2} \end{equation}$$ Aus (7) haben wir $$\begin{equation}\tag{10} \tan \phi = \frac{\omega/a}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{equation}$$ also bekommen wir $$\begin{equation}\tag{11} \phi = \arctan \left( \frac{\omega/a}{\omega_0^2 - \omega^2} \right) + n \pi \qquad n \in \mathbb{Z} \end{equation}$$ Aber$\sin (\arctan(x) + n \pi) = \frac{(-1)^n x}{\sqrt{1+x^2}}$Und$\cos (\arctan(x) + n \pi) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{1+x^2}}$also aus (11) haben wir $$\begin{equation}\tag{12} \sin \phi = \frac{\omega / a}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega / a)^2}} \cdot \frac{(-1)^n}{\mathrm{sgn}(\omega_0^2 - \omega^2)} \end{equation}$$ Wo$\frac{\omega_0^2 - \omega^2}{|\omega_0^2 - \omega^2|}$wird geschrieben als$\mathrm{sgn}(\omega_0^2 - \omega^2)$(egal ob das Argument dimensional ist: aufgrund der Definition der sgn-Funktion) und $$\begin{equation}\tag{13} \cos \phi = \frac{|\omega_0^2 - \omega^2|}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega / a)^2}} \cdot (-1)^n \end{equation}$$ diese sind kohärent mit (10) und mit der Grundgleichung der Trigonometrie. Durch Gleichsetzen von (8) mit (13) (oder (9) mit (12), es ist dasselbe) erhalten wir $$\begin{equation}\tag{14} x_0 = \frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega / a )^2}} (-1)^n \mathrm{sgn}(\omega_0^2 - \omega^2) \end{equation}$$ Unter Ausnutzung von (11) und (14) können wir das Bewegungsgesetz (2) schreiben als $$\begin{equation}\tag{15} x(t) = \frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega / a)^2}} (-1)^n \mathrm{sgn}(\omega_0^2 - \omega^2) \sin \left(\omega t - \arctan \left( \frac{\omega/a}{\omega_0^2 - \omega^2} \right) + n \pi \right) \end{equation}$$ Aber$(-1)^n\sin(x+n\pi)=\sin x$also haben wir (egal ob$n$gerade oder ungerade ist: ab hier$n$verlässt uns) $$\begin{equation}\tag{16} x(t) = \frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega / a)^2}} \sin \left(\omega t - \arctan \left( \frac{\omega/a}{\omega_0^2 - \omega^2} \right) \right) \mathrm{sgn}(\omega_0 - \omega) \end{equation}$$ wo ich geschrieben habe$\mathrm{sgn}(\omega_0^2 - \omega^2)$einfach so$\mathrm{sgn}(\omega_0 - \omega)$Weil$\omega_0, \omega > 0$per definitionem und $$\begin{equation}\tag{17} \mathrm{sgn}(\omega_0^2 - \omega^2) = \mathrm{sgn}((\omega_0 - \omega)(\omega_0 + \omega)) = \mathrm{sgn}(\omega_0 - \omega) \mathrm{sgn}(\omega_0 + \omega) = \mathrm{sgn}(\omega_0 - \omega) \end{equation}$$ Frage : ist (16) die Bewegungsgleichung nach der Transiente? Macht den Ausdruck$x=x(t)$Vorzeichen ändern je nach$\omega_0 \lessgtr \omega$? Dies hat natürlich keinen Einfluss auf die Darstellung der Funktion, die die Resonanz erklärt, den Wert von$\omega$die Amplitude maximieren, die maximale Amplitude usw., aber ich kann nirgendwo das explizite Schreiben von finden$x(t)$nach vorübergehend, und das beunruhigt mich. Ich setze (16) in (1) ein, um zu überprüfen, ob die Differentialgleichung tatsächlich erfüllt ist: Ich bin geneigt zu glauben, dass die Vorzeichenfunktion darin enthalten sein muss$x=x(t)$wie ich es getan habe, aber ich kann es nirgendwo finden, also bitte ich um Bestätigung. Mit anderen Worten, ich vermute, dass ich keine immer gültige Formel für schreiben kann$x(t)$nach transient ohne Verwendung der sgn-Funktion, wenn ich nicht weiß, was größer ist$\omega$Und$\omega_0$. Ist das wahr?