Was ist die "wahre" Entfernung, die ein Objekt basierend auf relativen Geschwindigkeiten zurücklegt?

Um die Distanz anzugeben, die ein Objekt zurückgelegt hat, müssen Sie auch seine Position relativ zu einem anfänglichen Referenzpunkt angeben. Im Zusammenhang mit Ihrer Frage gibt es keine "wahre Entfernung" oder "absolute Entfernung", die ein Objekt zurückgelegt hat. Stattdessen sind alle Entfernungsmessungen relativ und die Position eines Objekts wird durch Bezugnahme auf ein Koordinatensystem oder einen Punkt im Raum beschrieben.

In Ihrem Beispiel bewegen sich zwei Objekte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Sie haben dann nach einer bestimmten Zeit ihre Positionen relativ zum selben Punkt auf der Erde angegeben . Sie haben dann den relativen Abstand zwischen jedem Objekt berechnet und einen anderen Wert erhalten. So weit, ist es gut.

Aber dann haben Sie gefragt: " Was ist die "wahre" Entfernung, die Objekt y zurücklegt? " Die Antwort ist relativ zu was? Relativ zum ursprünglichen Punkt auf der Erde oder relativ zum anderen Objekt, dem Mond oder was?

Die Entfernung, die ein Objekt zurücklegt, wird also immer relativ zu einem Bezugspunkt gemessen, normalerweise dort, wo das Objekt seine Bewegung beginnt, oder zu einem anderen Punkt in der Vergangenheit.

Es gibt eine "wahre" Entfernung in der Relativitätstheorie, aber sie betrifft sowohl Raum als auch Zeit. Die wahre Entfernung, die ein Objekt in der Raumzeit zwischen zwei Punkten zurücklegt, wird als "Eigenzeit" bezeichnet und ist gleich der verstrichenen Zeit auf einer mit dem Objekt mitgeführten Uhr. Ein Beobachter, der sich relativ zum Objekt bewegt, wird glauben, dass die Zeit der Uhr durch die Zeitdilatation verlangsamt wird, aber er wird auch glauben, dass sich das Objekt im Raum und in der Raumzeitentfernung bewegt$ds^2 = dt^2 - \frac{dx^2}{c^2} - \frac{dy^2}{c^2} - \frac{dz^2}{c^2}$wird von beiden Beobachtern als gleich berechnet.

Also, wie ich in meinem Kommentar gesagt habe, ist die Art und Weise, wie wir Distanz in der galiläischen Relativitätstheorie definieren, vollkommen, naja ... relativ . Das sagen wir, wenn ein Beobachter einen Ortsvektor hat$x$dann ist die Entfernung, die sie zurückgelegt haben$\int_t |\dot{x}(t)|dt$(Wenn Sie mit Analysis nicht vertraut sind, können Sie denken, dass sie als Summierung ihrer Geschwindigkeit definiert ist, multipliziert mit infinitesimal kleinen Zeitintervallen). Sie können aus der Struktur der Definition ersehen, dass, wenn Sie eine Referenzänderung vornehmen (in der Galileischen Relativitätstheorie,$x'=x-vt$, und beschränken uns auf Trägheitsbezugssysteme), wird der Abstand dann zu$\int_t|\dot{x}-v|dt$was deutlich anders ist.
Mit anderen Worten, die galiläische Distanz ist keine geometrische Eigenschaft. Lassen Sie mich näher darauf eingehen. In der Geometrie können wir geometrische Eigenschaften als Eigenschaften bezeichnen, die wahr sind, egal wie man sie betrachtet. Dinge wie die Summe der Innenwinkel eines Polygons, die Länge eines Vektors, der Winkel zweier Linien oder Vektoren; All diese Dinge sind Eigenschaften der geometrischen Objekte selbst, nicht der Art und Weise, wie wir sie beschreiben. Nehmen Sie einen Vektor; zum Beispiel der Vektor$v=1\,e_1+1\,e_2$, bei dem die$e_i$sind die kartesischen Basisvektoren$(1,0),(0,1)$. Die Länge von$v$Ist$\sqrt{2}$. Nehmen Sie nun eine neue Basis, die doppelt so groß ist wie die kartesische Basis. Die Länge von$v$ist dann still$\sqrt{(\frac{1}{2}2\,e_1)^2+(\frac{1}{2}2\,e_2)^2}=\sqrt{2}$(Beachten Sie, dass sich die Komponenten in verwandeln$\frac{1}{2}$weil Sie ein doppelt so großes "Lineal" verwenden. Dies wird besser visualisiert, wenn Sie diesen Vektor tatsächlich zeichnen). Die galiläische Distanz ist nicht diese Art von Eigenschaft.
Wenn sich unser Universum nicht an die Gesetze der Allgemeinen und Speziellen Relativitätstheorie halten würde, könnte dies das Ende der Geschichte sein. Diese geometrische Invarianz der Längen von Vektoren in der Geometrie regt uns jedoch an, nach einer neuen Definition zu suchen. Sie sehen, das Messen von Länge und Abstand hängt von der Art der Geometrie ab, die Sie betrachten: Das Messen der Länge einer Linie in einer Ebene wird nicht auf die gleiche Weise durchgeführt wie das Messen der Länge einer Linie in einer sphärischen Oberfläche. Ohne zu sehr darauf einzugehen, nur damit Sie es nachschlagen können, wird dieser „Unterschied beim Messen von Längen“ durch ein mathematisches Objekt namens metrischer Tensor beschrieben, das ist also eine Art geometrisch unveränderliches Lineal (in dem Sinne, dass Sie es verwenden können, egal welche Art von Geometrie Sie betrachten), mit dem Sie Entfernungen messen können. Was in der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie formell getan wird, besteht dann darin, eine neue Geometrie zu definieren, die sich aus Raum und Zeit zusammensetzt, in der dieses metrische Tensor-Ding so ist, dass die von einem Beobachter zurückgelegte Entfernung auch eine geometrische Eigenschaft ist. Wir nennen sie die Eigenzeit, weil sie mit der Zeit übereinstimmt, die von einer Uhr gemessen wird, die der Beobachter auf seiner Reise trägt, und sie ist gegeben durch: