Warum liefert die Berechnung der Relativgeschwindigkeit mit Vektoren andere Ergebnisse als mit Distanzen?

Question

Warum liefert die Berechnung der Relativgeschwindigkeit mit Vektoren andere Ergebnisse als mit Distanzen?

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Angenommen, zwei Punkte befinden sich am Ursprung des xy-Koordinatensystems. Zwei Punkte beginnen sich gleichzeitig zu bewegen. Punkt $T_1$ beginnt sich mit Geschwindigkeit nach Norden zu bewegen $v_1 = 2.7m/s$ während Punkt $T_2$ beginnt sich mit Geschwindigkeit nach Osten zu bewegen $v_2 = 1.6 m/s$ und Beschleunigung $a_2 = 0.9 m/s^2$ .
Wie groß ist ihre relative Geschwindigkeit zur Zeit $t = 10s$ ?

1. Lösung:
Wir können Punkt beschreiben $T_1$ mit Vektor $\vec{v_1} = v_1\hat{j}$ und Punkt $T_2$ mit Vektor $\vec{v_2} = (v_2+a_2t)\hat{i}$
Wenn wir jetzt subtrahieren $\vec{v_2}$ aus $\vec{v_1}$ wir bekommen $\vec{v_r} = v_1\hat{j}-(v_2+a_2t)\hat{i}$
Seine Länge ist $\sqrt{v_1^2+(v_2+a_2t)^2}$

2. Lösung:
Wir können den Abstand zwischen zwei Punkten mit dem Satz des Pythagoras berechnen: $d=\sqrt{(v_1t)^2+(v_2t+\frac{a_2t^2}{2})^2}$
$\textbf{It's derivative is relative velocity.}$

Wenn wir diese beiden Funktionen jetzt grafisch darstellen, erhalten wir nicht denselben Graphen:

Warum gibt es einen Unterschied zwischen diesen beiden Methoden?

ToTheSpace 2

Tatsächlich berechne ich in (2) die Ableitung der Entfernung in Bezug auf die Zeit. Warum sollte die zeitliche Abstandsänderung nicht ihre Relativgeschwindigkeit sein?

ToTheSpace 2

Ich verstehe deinen Punkt sicher nicht. Die erste ist eine Geschwindigkeit. Aber bei der zweiten Methode berechne ich die Entfernung, damit ich die Ableitung der Entfernung berechnen kann, die die Geschwindigkeit ist. Es gibt sicherlich etwas, das ich falsch mache, aber ich sehe nicht ein, warum die Änderung der Entfernung in Bezug auf die Zeit nicht ihre relative Geschwindigkeit sein sollte.

G. Smith

Diese Frage sollte nicht als Hausaufgabe abgeschlossen werden, da es sich tatsächlich um eine wichtige konzeptionelle Frage handelt.

Antworten (2)

Warum liefert die Berechnung der Relativgeschwindigkeit mit Vektoren andere Ergebnisse als mit Distanzen?

Tatsächlich berechne ich in (2) die Ableitung der Entfernung in Bezug auf die Zeit. Warum sollte die zeitliche Abstandsänderung nicht ihre Relativgeschwindigkeit sein?
Ich verstehe deinen Punkt sicher nicht. Die erste ist eine Geschwindigkeit. Aber bei der zweiten Methode berechne ich die Entfernung, damit ich die Ableitung der Entfernung berechnen kann, die die Geschwindigkeit ist. Es gibt sicherlich etwas, das ich falsch mache, aber ich sehe nicht ein, warum die Änderung der Entfernung in Bezug auf die Zeit nicht ihre relative Geschwindigkeit sein sollte.
Diese Frage sollte nicht als Hausaufgabe abgeschlossen werden, da es sich tatsächlich um eine wichtige konzeptionelle Frage handelt.

G. Smith · Answer 1

Der Abstand zwischen zwei Punkten ... seine Ableitung ist die Relativgeschwindigkeit.

Nein, ist es nicht. Die Ableitung des Trennungsabstands ist die Komponente der relativen Geschwindigkeit entlang der Linie zwischen den zwei Objekten, nicht die relative Geschwindigkeit (dh die Größe der relativen Geschwindigkeit).

\frac{D | R_{1} - R_{2} |}{D T} = \frac{R_{1} - R_{2}}{| R_{1} - R_{2} |} \cdot (v_{1} - v_{2}) \neq | v_{1} - v_{2} |

$\frac{d|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|}{dt}=\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|}\cdot(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)\ne|\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2|$

Die zum Abstand senkrechte Komponente der Relativgeschwindigkeit trägt nicht zur momentanen Zunahme des Abstandes bei. Im Fall von zwei Objekten, die sich beispielsweise auf Kreisbahnen um ihren Massenmittelpunkt befinden, haben sie eine Relativgeschwindigkeit, aber es gibt keine Änderung in ihrem Abstand.

Ich entschuldige mich für meine Unwissenheit. Dies ist eine erstaunliche Antwort. Dies würde funktionieren, wenn sich Punkte entlang derselben Linie bewegen, ansonsten nicht. Danke für die Antwort.
Keine Notwendigkeit für Entschuldigungen. Dies ist ein weit verbreitetes Missverständnis.

Claudia Saspinsky · Answer 2

Im ersten Fall:

v_{1} - v_{2} = \frac{D R_{1}}{D T} - \frac{D R_{2}}{D T} = \frac{D (R_{1} - R_{2})}{D T}

$\mathbf v_1 - \mathbf v_2 = \frac{ d\mathbf r_1}{dt} - \frac{d\mathbf r_2}{dt} = \frac{d(\mathbf r_1 - \mathbf r_2)}{dt}$

Im zweiten Fall:

\frac{D | R_{1} - R_{2} |}{D T}

$\frac{d|\mathbf r_1 - \mathbf r_2|}{dt}$

Offensichtlich sind sie unterschiedlich. Der zweite misst, wie sich der Abstand zwischen den Beobachtern mit der Zeit ändert, oder die Radialgeschwindigkeit, ohne Berücksichtigung der Tangentialgeschwindigkeit.

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G. Smith

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G. Smith

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Claudia Saspinsky

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