Was ist der Unterschied zwischen diesen beiden Methoden zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit?

Ihre erste Methode zur Berechnung einer Durchschnittsgeschwindigkeit ist ungenau und sollte wirklich vermieden werden.

Nur die zweite Methode ist genau. Dies ist eine Folge des zugrunde liegenden Kalküls der Kinematik.

Wenn sich ein Objekt bewegt (z. B. aber nicht notwendigerweise auf einer geraden Linie), muss seine Geschwindigkeit nicht konstant sein. Tatsächlich nehmen wir für den allgemeinen Fall an$v$ist eine Funktion der Zeit , mathematisch notiert als:

Physikalisch ist die Geschwindigkeit die erste Ableitung des Ortes ($x$) zur Zeit ($t$):

Um die Verschiebung zu finden$\Delta x$während eines Zeitintervalls$\Delta t=t_2-t_1$Dann$\Delta x$wird durch Integration berechnet:

Dies gilt unabhängig davon, wie$v(t)$entwickelt sich über das Zeitintervall$\Delta t$.

Es ist jedoch bedeutungslos, den "Durchschnitt" zu bilden, indem zwei Geschwindigkeitsmesswerte gemittelt werden.

Bei konstanter Beschleunigung ist die Geschwindigkeit gegeben durch:

Wo$v_0$ist die Geschwindigkeit bei$t=0$.

Nach einem Zeitintervall$\Delta t$die Geschwindigkeit ist geworden:

Die Verschiebung wäre:

Die durchschnittliche Geschwindigkeit$\bar{v}$Ist:

Mit der ersten Methode:

Damit erhalten wir bei konstanter Beschleunigung das gleiche Ergebnis. Beachten Sie, dass dies der einzige Fall ist , in dem beide dasselbe Ergebnis liefern.

Es ist nicht notwendig, den Durchschnitt der Anfangsgeschwindigkeit und der Endgeschwindigkeit zu nehmen, Sie gehen von einer linearen Änderung der Geschwindigkeit aus, was nicht der allgemeinen Situation entspricht. Also gibt nur die zweite Formel die Durchschnittsgeschwindigkeit an.

Die richtige Gleichung für die Durchschnittsgeschwindigkeit ist die zweite Gleichung der beiden Gleichungen, die Sie angegeben haben. Die erste ist nur unter der gegebenen Bedingung richtig, dass die Beschleunigung des Körpers konstant ist. Die zweite Gleichung gilt sogar für variable Beschleunigung.

Die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Teilchens während einer bestimmten verstrichenen Zeit$\Delta t$ist, in Worten, die konstante Geschwindigkeit, die die gleiche Verschiebung in der gleichen verstrichenen Zeit ergibt .

Mathematisch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit gegeben durch

Wo$\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}_f - \mathbf{r}_i$ist der Verschiebungsvektor und$\Delta t = t_f - t_i$ist die verstrichene Zeit, während der die Verschiebung stattfand.

Betrachten Sie zum Beispiel den Fall, dass sich ein Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit bewegt$1 \mathrm{\frac{m}{s}} \hat{\mathbf{x}}$4 Sekunden lang und dann mit konstanter Geschwindigkeit$1 \mathrm{\frac{m}{s}} \hat{\mathbf{y}}$für 3 Sekunden.

Der Verschiebungsvektor für die 7 Sekunden der Bewegung ist durch Inspektion

und so ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der 7 Sekunden

Wenn ein anderes Teilchen diese konstante Geschwindigkeit hätte und zur gleichen Zeit wie das erste Teilchen am selben Anfangspunkt gestartet würde, würden die beiden natürlich zur gleichen Zeit den gleichen Endpunkt erreichen.

Andererseits die Menge

ist ein Durchschnitt von zwei Geschwindigkeiten , was nicht besonders nützlich oder aussagekräftig ist, keine Durchschnittsgeschwindigkeit , die eine klare und nützliche Bedeutung hat.

Es gibt zwei Spezialfälle:

(1) Für den Fall, dass das Teilchen die Hälfte der verstrichenen Zeit bei einer konstanten Geschwindigkeit verbringt$\mathbf{v}_1$und verbringt die andere Hälfte der verstrichenen Zeit bei einer konstanten Geschwindigkeit$\mathbf{v}_2$, dann ist die Durchschnittsgeschwindigkeit nur der Durchschnitt der beiden Geschwindigkeiten.

(2) Für den Fall, dass das Teilchen eine konstante Beschleunigung hat, steigt die Geschwindigkeit linear mit der Zeit und damit die Verschiebung pro Zeiteinheit (und arbeitet in 1-D)

und somit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit nur der Durchschnitt der Anfangs- und Endgeschwindigkeit.