Was ist ein Modus?

In einem sehr mathematischen Sinne bezieht sich ein Modus meistens auf einen Eigenvektor einer linearen Gleichung. Betrachten Sie das Problem der gekoppelten Federn

$$\frac{d}{dt^2} \left[ \begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cc} - 2 \omega_0^2 & \omega_0^2 \\ \omega_0^2 & - \omega_0^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]$$ oder in basisunabhängiger Form $$\frac{d}{dt^2}\lvert x(t) \rangle = T \rvert x(t) \rangle \, .$$ Dieses Problem ist schwierig, da die Bewegungsgleichungen z $x_1$und $x_2$gekoppelt sind. Die normalen Modi sind (bis zum Skalierungsfaktor) $$\left[ \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right] \quad \text{and} \quad \left[ \begin{array}{cc} 1 \\ -1 \end{array} \right] \, .$$ Diese Vektoren sind Eigenvektoren von $T$. Eigenvektoren sein, wenn wir expandieren $\lvert x(t) \rangle$und $T$bezüglich dieser Vektoren entkoppeln sich die Bewegungsgleichungen. Mit anderen Worten

Die Menge der Normalmoden ist die Vektorbasis, die die Bewegungsgleichungen diagonalisiert (d. h. diagonalisiert$T$).

Mit dieser Definition kommst du ziemlich weit.

Ähnlich verhält es sich in der Quantenmechanik. Die Normalmoden eines Systems stammen aus der Schrödinger-Gleichung

$$i \hbar \frac{d}{dt}\lvert \Psi(t) \rangle = \hat{H} \lvert \Psi \rangle \, .$$ Ein Eigenvektor von $\hat{H}$ist ein Normalzustand des Systems, auch stationärer Zustand oder Eigenzustand genannt. Diese Normalmoden haben eine weitere wichtige Eigenschaft: Im Laufe der Zeit behalten sie ihre Form bei und nehmen nur komplexe Vorfaktoren auf $\exp[-i E t / \hbar]$wo $E$ist der Eigenwert des Modus unter der $\hat{H}$Operator (dh die Energie des Modus). Das war eigentlich auch im klassischen System so. Wenn das gekoppelte Federsystem in einen Eigenzustand von eingeleitet wird $T$(dh im normalen Modus), dann bleibt es für immer in einer skalierten Version dieses normalen Modus. Im Fall der Federn ist der Skalierungsfaktor $\cos(\sqrt{\lambda} t)$wo $\lambda$ist der Eigenwert des Modus unter der $T$Operator.

Aus der obigen Diskussion können wir eine sehr physikalische Definition von "Modus" bilden:

Ein Modus ist eine Trajektorie eines physikalischen Systems, die ihre Form nicht ändert, wenn sich das System entwickelt. Mit anderen Worten, wenn sich ein System in einer einzigen Mode bewegt, bewegen sich die Positionen seiner Teile alle mit der gleichen allgemeinen Zeitabhängigkeit (z. B. sinusförmige Bewegung mit einer einzigen Frequenz), können aber unterschiedliche relative Amplituden haben.

Die Definition von "Modus" im Freien Wörterbuch im Kontext der Physik ist "jedes von zahlreichen Mustern von Wellenbewegung oder Vibration". Diese Definition scheint jedoch zu weit und ungenau zu sein. Der Modus kann in Normalmodus und Quasi-Normalmodus unterteilt werden. Ein Normalmodus ist eine zeitunabhängige Schwingung, bei der Frequenz und Form der Welle zeitlich unveränderlich sind. Ein Quasi-Normalmodus ist eine Störung eines Feldes, bei der sich Frequenz und Form mit der Zeit ändern.

Kapitel 49 der Feynman Lectures on Physics diskutiert Moden als unterschiedliche Ergebnisse, die man erhält, wenn man Wellen auf verschiedene Weise innerhalb eines endlichen Bereichs einschränkt.

Im Allgemeinen werden sich ausbreitende Wellen nach Ausbreitungsmodi klassifiziert. Schallwellen können zum Beispiel zu verschiedenen Arten zyklischer Bewegung von Partikeln führen, wenn eine Welle ein Medium durchläuft . Der Modus kann durch Eigenschaften des Mediums sowie durch die Frequenz der Welle bestimmt werden.

Wann immer Sie es mit einer Schwingung oder Vibration oder einer anderen regelmäßigen Wiederholung von Bewegungen zu tun haben, können Sie sie in die eine oder andere Bewegungsart einteilen. Wenn Sie eine "kollektive Bewegung vieler einzelner Teilchen" haben, die eine wellenartige Bewegung aufweist, kann die Klassifizierung nach Modi ein geeigneter Weg sein, um solche Phänomene zu untersuchen und zu klassifizieren.

Ich werde es intuitiver versuchen. Einer der grundlegendsten Aspekte des (nicht nur) physikalischen Bildes der Welt ist die Zerlegung von Komplexität in einfachere Teile. Und noch besser ist es, wenn die Puzzleteile ohne Lücken oder Überschneidungen das Bild zu einem Ganzen machen.

So etwas (nicht nur) für Schwingungen sind die orthogonalen Moden. Was bedeuten die Wörter? „Modus“ ist „ein möglicher Weg, Dinge zu tun“ und „orthogonal“ bedeutet eigentlich, dass sich die Puzzleteile nicht überlappen. Durch "Kooperation" (zB Linearkombination, Fourier-Koeffizienten...) dieser "unabhängigen Vorgehensweisen" wird die komplexe Bewegung beschrieben. Der Punkt: Wir zerlegen eine hässliche oszillierende Bewegung in „schönere und verständlichere Teile“.

Das bekannteste Beispiel sind gekoppelte Schwingungen. Wenn Sie das System betrachten, indem Sie die Positionen der Massen messen, die von einer festen Wand gemessen werden, sehen Sie ein Durcheinander. Aber! Wenn Sie es als eine Kombination aus Schwerpunkt und relativer Massenbewegung sehen, dann tritt die Einfachheit auf.