Was ist ein nichtlineares Feld?

Ein nichtlineares Feld oder eine nichtlineare Theorie ist, nun ja, ein Feld oder eine Theorie, die nicht linear ist. Es gibt zwei Hindernisse dafür, dass etwas linear ist: Eine Gleichung wird als linear bezeichnet, wenn, wann immer$\phi$Und$\psi$sind Lösungen der Gleichung und$a,b$sind konstante Skalare, also ist$a\phi + b\psi$. Damit die Definition Sinn macht, braucht man also (a) eine Möglichkeit, ¨zwei Lösungen zu addieren¨ und (b) die Aussage, dass die ¨Summe zweier umskalierter Lösungen wieder eine Lösung ist¨.

1. Eine Theorie/ein Feld kann nicht linear sein, weil man keine Lösungen hinzufügen kann. Dies ist beispielsweise im nichtlinearen Bereich der Fall$\sigma$-Modelle, bei denen das Feld Werte in einer Mannigfaltigkeit annimmt. Im Gegensatz zu reellen oder komplexwertigen Feldern oder in etwas allgemeineren Feldern, die Werte in Vektorräumen annehmen, gibt es keine natürliche Möglichkeit, die Summe von zwei Punkten in einer Mannigfaltigkeit zu definieren. Mit anderen Worten, die Theorie ist aufgrund der Tatsache, dass wir den Ausdruck nicht verstehen können, nichtlinear$\phi(x) + \psi(x)$.

2. Wenn ein Feld selbst einen Begriff der Addition zulässt, kann die Theorie immer noch nicht linear sein, wenn die Bewegungsgleichungen nichtlinear sind. Dies ist zB bei ¨nichtlinearen Klein-Gordon-Gleichungen¨ der Fall. Das Feld selbst nimmt in den komplexen Zahlen immer noch Wert an. Aber die Summe zweier Lösungen ist nicht mehr garantiert eine neue Lösung.

Mit anderen Worten, im ersten Fall können wir Überlagerungen nicht einmal sinnvoll definieren; im zweiten Fall können Überlagerungen definiert werden, aber das Überlagerungsprinzip für zerlegende Lösungen kann nicht mehr verwendet werden.

Die Unterscheidung ist hauptsächlich epistemologischer Natur. Für praktische Zwecke macht es wenig Sinn, zwischen den beiden zu unterscheiden: Der Unterschied zwischen den beiden Fällen ist winzig im Vergleich zu ihrem Unterschied zu linearen Theorien.

Sie meinen ein "nichtlineares Sigma-Modell", bei dem es sich um ein Feld handelt, das einen Wert für eine Mannigfaltigkeit annimmt. Ich denke, manche Leute nennen das ein "nichtlineares Feld". Die gebräuchlichere Verwendung ist "Ein Feld, dessen Gleichung nichtlinear ist".

Erstens, was ist ein Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen physikalischen Prozessen? Ist die Abweichung eines Systems von einem Gleichgewicht gering, so spricht man von einem linearen System. Formal wird das System in diesem Fall durch eine lineare Gleichung beschrieben. Ein einfaches Beispiel für ein lineares System ist ein Pendel, das kleine Schwingungen nahe der (vertikalen) Gleichgewichtsposition ausführt.

Eine andere Definition eines linearen Systems ist, dass es sich um ein System handelt, das linear auf eine externe Störung „antwortet“. "Lineare Antwort" bedeutet, dass die Systemreaktion (Signal) proportional zur Stärke der Störung ist. Übliche Beispiele sind das Hookesche Gesetz F= k*X und das Ohmsche Gesetz U= R*I, wobei k und R nicht von X bzw. I abhängen.

Wenn nun die Abweichung eines Systems von einem Gleichgewicht groß ist, dann ist das System (oder ein Prozess) nichtlinear. Beispielsweise ist die Schwingung eines Pendels mit großer (> ~30 Grad) Abweichung ein nichtlinearer Prozess. Alternative Ansicht: Wenn die Parameter eines Systems von der Vorturbation abhängen, dann ist die Systemantwort nichtlinear. Wenn in den obigen Beispielen der Elastizitätskoeffizient k von X oder der Widerstand R von I abhängt, dann ist das System nichtlinear.

Wir können sagen, dass alle Prozesse in der Natur nichtlinear sind. Wenn die Abweichung jedoch gering ist, kann der Prozess als linear betrachtet (mathematisch behandelt) werden. Dies ist nur ein Spiegelbild einer einfachen Tatsache, dass jede Funktion$f(x)$kann als lineare Funktion dargestellt werden, wenn$x$ist klein,$f(x) \approx f(0)+f'(0) x$.

"Feld" wird verwendet, wenn Sie ein ausgedehntes System beschreiben und die Abweichung vom Gleichgewicht an verschiedenen Punkten des Systems unterschiedlich ist. Übliche Beispiele sind eine schwingende Saite, ein elektromagnetisches Feld usw.

Wenn Sie schließlich ein ausgedehntes System mit großer Abweichung vom Gleichgewicht betrachten, müssen Sie die nichtlineare Feldtheorie verwenden.