Erhalten der Euler-Lagrange-Gleichung aus Aktion mit Einschränkung - Wittens topologisches Sigma-Modell

Die Wirkung von Wittens topologischem Sigma-Modell (definiert auf einem Weltblatt, Σ , mit Zielraum eine fast komplexe Mannigfaltigkeit bezeichnet X ) nimmt die Form an

(2.14) S = ∫ D 2 σ ( − 1 4 H a ich H a ich + H ich a ∂ a u ich + … ) ,
wie in Gleichung 2.14 seiner Arbeit gezeigt. Die Hilfsfelder H a ich gehorchen auch der "Selbst-Dualität"-Einschränkung
(2.5) H a ich = ε a β J ich J H β J ,
Wo ε Und J sind jeweils die fast komplexen Strukturen von Σ Und X .

Nun, die Euler-Lagrange-Gleichung für H a ich ist in Gleichung 2.15 gegeben als

(2.15) H a ich = ∂ a u ich + ε a β J ich J ∂ β u J .
Wie zeigt man das? Ich habe versucht, die Einschränkung der "Selbst-Dualität" über Lagrange-Multiplikatoren in die Aktion einzubeziehen, konnte aber auf diese Weise nicht die richtige Euler-Lagrange-Gleichung erhalten.

Antworten (2)

Hier ist eine Methode, vielleicht nicht die kürzeste, aber zumindest konsistent und hoffentlich transparent.

  1. Bevor wir beginnen, wollen wir eine hoffentlich offensichtliche Matrixnotation einführen

    J ich J ⟶ J
    ε a β ⟶ ε
    u ich , a ⟶ u ,
    H a ich ⟶ H
    (A) H ich a ⟶ H
    etc, zur Vereinfachung der Notation. (Die letzten beiden Zeilen in Gleichung (A) mögen mehrdeutig erscheinen, aber in der Praxis kann man sie vom Kontext unterscheiden.)

  2. Schreiben Sie das Wittensche Tensorfeld

    (B) H   :=   1 2 ( H ~ − ε H ~ J )
    in Bezug auf ein unbeschränktes Tensorfeld H ~ mit gleicher Art von Indizes. (Das vielleicht überraschende Minuszeichen in Gl. (B) hat mit der Reihenfolge der Matrizen zu tun.)

  3. Es ist leicht zu überprüfen, dass die Definition (B) offensichtlich selbstdual ist

    (2.5) H   =   − ε H J ,
    durch die Nutzung
    (C) J 2   =   − 1 , ε 2   =   − 1 .

  4. Die Lagrange-Dichte wird

    (2.14) L   :=   T R ( − 1 4 H 2 + H u , ) + …   = ( B )   1 2 T R ( − 1 4 H ~ 2 + 1 4 ε H ~ J H ~ + ( H ~ − ε H ~ J ) u , ) + … .

  5. Variieren Sie die Lagrange-Dichte (2.14) bzgl. das unbeschränkte Tensorfeld:

    (D) 0   ≈   δ L   = ( 2.14 )   1 2 T R { ( − 1 2 ( H ~ − J H ~ ε ) + ( u , − J u , ε ) ) δ H ~ } .
    Mit anderen Worten,
    (2.15) H   = ( B )   1 2 ( H ~ − J H ~ ε )   ≈ ( D )   u , − J u , ε
    das ist die gesuchte Gleichung von OP. (Hier das ≈ Symbol bedeutet Gleichheit modulo eoms.)

Ich verstehe nicht, warum die Gleichheit modulo eoms gelten sollte? Leiten wir nicht eine Bewegungsgleichung her?
Also das hast du gemeint ≈ wird verwendet, weil Gleichung (2.15) eine Bewegungsgleichung ist, habe ich recht?
↑ Ja.
Qmechaniker, etwas ist mir nicht klar. Auf der klassischen Ebene funktioniert Ihre Ableitung perfekt. Aber was ist mit Pfadintegralen, die Wittens Hauptanliegen sind (Gleichung (2.15) führt zur Lokalisierung der Pfadintegrale im Modulraum holomorpher Abbildungen). Durch die Änderung der Variablen (B) sollte es eine entsprechende Änderung des Wegintegralmaßes geben, erfasst durch eine Jacobi-Verteilung J . Um Ihre Ableitung zu implementieren, det J sollte konstant sein, oder zumindest H ~ -unabhängig (sonst haben wir kein Gaußsches Integral über H ~ ), aber ich kann es nicht zeigen. Könnten Sie das erläutern?

Ist nicht der Trick zu nehmen

(2.5) H a ich = ε a β J ich J H β J ,
und beachten
H a ich = 1 2 ( H a ich + ε a β J ich J H β J )
stecken Sie dies dann in die Aktion, um es neu zu schreiben als
S = ∫ D 2 σ ( − 1 4 H a ich H a ich + 1 2 δ ich k ( H a ich + ε a β J ich J H β J ) ∂ a u k + … ) ,
wobei ich die Tatsache verwende, dass die Kontraktion über lateinische Indizes unter Verwendung der "Worldsheet-Metrik" erfolgt, die (durch konforme Invarianz) gleich ist δ ich J .

Würde eine andere Zerlegung (anstelle der in Ihrer zweiten Gleichung angegebenen) nicht zu einer anderen Euler-Lagrange-Gleichung führen? B. statt H a ich = 1 2 ( H a ich + H a ich ) man könnte gebrauchen H a ich = 1 3 ( H a ich ) + 2 3 ( H a ich ) . Ersetzen Sie dann (2.5) durch den Koeffizienten von 2 3 wird uns einen Ausdruck geben, der sich von der zweiten Gleichung in Ihrer Antwort unterscheidet. Ich denke, dies wird zu einer anderen Euler-Lagrange-Gleichung führen.
Außerdem sind die lateinischen Indizes Zielraum-Indizes, die griechischen Indizes sind Worldsheet-Indizes.
Erhalten der Euler-Lagrange-Gleichung aus Aktion mit Einschränkung - Wittens topologisches Sigma-Modell
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