Was ist eine geschlossene Form für diese kombinatorische Summe?

Question

Was ist eine geschlossene Form für diese kombinatorische Summe?

Summe
geschlossene Form
Mathematik
endliche Unterschiede
Wiederholungsbeziehungen
Binomialkoeffizienten

Allawonder

In erster Linie wollte ich das Wiederholungssystem lösen

C_{k} = \frac{1}{P} (\binom{P}{k}) - C_{k - 1}, C_{0} = 0,

$c_k=\frac 1p{p\choose k}-c_{k-1},\\c_0=0,$ für jede ganze Zahl

1 \leq k \leq \frac{P - 1}{2},

$1\le k\le \frac{p-1}{2},$ Wo

p

$p$ ist eine ungerade Primzahl. Ich konnte nur das sehen

c_{k}

$c_k$ könnte durch die Summe dargestellt werden

\sum_{ich = 0}^{k - 1} \frac{(- 1)^{ich}}{P} (\binom{P}{k - ich}) .

$\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^i}{p}{p\choose {k-i}}.$

Ich möchte jedoch eine geschlossene Form für diese Summe in Bezug auf Elementarfunktionen, falls vorhanden. (Oder wenn Sie direkt vom Wiederholungssystem zu einer Lösung in geschlossener Form übergehen könnten, wäre alles noch in Ordnung. Alles, was ich brauche, ist die Lösung in geschlossener Form.)

Danke schön.

Antworten (2)

Was ist eine geschlossene Form für diese kombinatorische Summe?

Gary · Answer 1

Beide Seiten der Wiederholung multiplizieren mit $x^k$ und Summieren für $k\geq 1$ gibt

C (X) = \frac{1}{P} ((1 + X)^{P} - 1) + X C (X),

$C(x) = \frac{1}{p}((1 + x)^p - 1) + xC(x),$ dh,

C (X) = \frac{(1 + X)^{P} - 1}{P (1 + X)} = \frac{1}{P} ((1 + X)^{P - 1} - \frac{1}{1 + X}),

$C(x) = \frac{{(1 + x)^p - 1}}{{p(1 + x)}} = \frac{1}{p}\left( {(1 + x)^{p - 1} - \frac{1}{{1 + x}}} \right),$ Wo

C (x)

$C(x)$ ist die erzeugende Funktion von

c_{k}

$c_k$ . Davon,

C_{k} = \frac{1}{P} ((\binom{P - 1}{k}) - (- 1)^{k}) .

$c_k = \frac{1}{p}\left( {\binom{p - 1}{k} - ( - 1)^k } \right).$

RobPratt · Answer 2

WolframAlpha behauptet, diese Summe reduziert sich auf

\frac{(P - k) (\binom{P}{k}) - (- 1)^{k} P}{P^{2}},

$\frac{(p - k) \binom{p}{k} - (-1)^k p}{p^2},$ was sich weiter vereinfacht

\frac{P (\binom{P - 1}{k}) - (- 1)^{k} P}{P^{2}} = \frac{(\binom{P - 1}{k}) - (- 1)^{k}}{P} .

$\frac{p \binom{p-1}{k} - (-1)^k p}{p^2}=\frac{\binom{p-1}{k} - (-1)^k}{p}.$

Was ist eine geschlossene Form für diese kombinatorische Summe?

Allawonder

Antworten (2)

Gary

RobPratt

Berechnen Sie die geschlossene Form der folgenden Reihe

Binomialidentität, die sich aus der katalanischen Wiederholung ergibt.

Zur verallgemeinerten Leibniz-Regel

Vereinfachen des Produkts mehrerer Binomialentwicklungen

Kombinatorischer Beweis der Identität 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

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Doppelsumme zweier Binomialkoeffizienten