Was ist magnetischer Fluss? Wie hängt es mit dem Faradayschen Gesetz zusammen?

Magnetfluss und Faradaysches Gesetz sind rein mathematisch definiert. Da sich mathematische Definitionen normalerweise mit idealisierten Konzepten befassen, treten subtile Probleme auf, wenn wir versuchen, solche Definitionen auf kompliziertere physikalische Situationen anzuwenden. Insbesondere benötigen wir normalerweise einige physikalische Prinzipien, die mit der Mathematik einhergehen; die Physik sagt uns, wie man die Mathematik anwendet.

Der magnetische Fluss und das Faradaysche Gesetz liefern gute Beispiele für solche Feinheiten und Komplikationen. Ich werde die Definitionen sorgfältig durchgehen, auf die Stolpersteine ​​hinweisen und dann auf Faradays Rad zurückkommen. Wenn wir über das Faradaysche Rad sprechen, gibt es vor allem eine Feinheit, die zusätzlichen Input aus der Physik erfordert, nämlich die Definition einer Schaltung.

---

Wir beginnen mit der mathematischen Definition des Flusses:

$$\begin{equation} \Phi_B = \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{A}. \end{equation}$$ Das kennst du wahrscheinlich $\vec{B}$ist der Magnetfeldvektor, $d\vec{A}$ist das differenzielle Flächenelement (dessen Richtung normal zur Oberfläche ist, mit einer kontinuierlichen Auswahl von entweder "nach außen" oder "nach innen" gerichtet) und $S$ist die Fläche, über die das Integral durchgeführt wird. In dieses Integral sind zahlreiche Idealisierungen eingebaut. Unter ihnen gehen wir davon aus, dass wir genau wissen, wie diese Oberfläche mit einer Dicke von genau Null und perfekt ausgeprägten Grenzen abzugrenzen ist.

Dies kann subtile Probleme aufwerfen, wenn wir versuchen, über reale physische Situationen zu sprechen. Zum Beispiel möchten wir vielleicht über den Fluss durch eine Drahtschleife sprechen. Aber ein physischer Draht hat eine Dicke ungleich Null. Soll die Integrationsfläche in der Mitte des Drahtes enden? An seinem äußeren Rand? Wie geben Sie die Außenkante an, wenn der Draht nicht in einer Ebene liegt? Sie werden häufig Leute sagen hören, dass das Faradaysche Gesetz nur für "unendlich dünne" Drähte gilt. Ich würde vorschlagen, dass es richtiger ist zu sagen, dass das Faradaysche Gesetz nur naiv für dünne Drähte gilt; es kann in allgemeineren Situationen mit sorgfältiger Anwendung verwendet werden.

Als nächstes kommen wir zum Faradayschen Gesetz , das die elektromotorische Kraft betrifft$\mathcal{E}$und die Grenze Ihrer Oberfläche zur zeitlichen Ableitung des magnetischen Flusses als

$$\begin{equation} \mathcal{E} = \int_{\partial S} \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B} {\mathrm{d}t}, \end{equation}$$ Wo $\partial S$ist die Grenze der Oberfläche, die wir verwendet haben, um den Fluss zu definieren. Hier gibt es noch einige Feinheiten. Erstens, und ganz einfach, müssen Sie die Oberfläche und die Grenze, mit der Sie es zu tun haben, sehr genau angeben. Zweitens ist die Ableitung die totale Ableitung und nicht die partielle Ableitung . Dies kann wichtig sein, wenn sich die Integrationsfläche zeitlich ändert und wenn sich das Magnetfeld räumlich und zeitlich ändert.

Dieser letzte Teil ist ein wirklich subtiles Thema, obwohl es um etwas so Wichtiges geht wie die Definition einer Schaltung . Ich werde Jackson zitieren, um es zu erklären: „Das elektrische Feld$\vec{E}$ist das elektrische Feld bei$d\vec{l}$im Koordinatensystem oder Medium, in dem$d\vec{l}$ruht, da es dieses Feld ist, das den Stromfluss verursacht, wenn tatsächlich ein Stromkreis vorhanden ist.“ [ Klassische Elektrodynamik , dritte Auflage, Abschnitt 5.15.] Also für einen Stromkreis, in dem sich der Weg der Elektronen relativ zum Leiter ändert die sie bewegen, müssen Sie einen sich ändernden Schaltungspfad verwenden.

Nun, angewendet auf das Faradaysche Rad (den homopolaren Generator), ist der erste Punkt, dass Sie die Oberfläche, von der Sie sprechen, genau definieren müssen – und damit die Grenze dieser Oberfläche. Die Schüler eilen häufig an diesem Punkt vorbei und nehmen die Scheibe selbst als Oberfläche. Dies ist jedoch falsch, da die Grenze dieser Oberfläche die Kante des Rads ist, sodass Sie technisch gesehen die elektromotorische Kraft um sie herum berechnen würdendas Rad. Aber Sie messen das Potential zwischen der Mitte und dem Rand, sodass diese Oberfläche nicht funktionieren kann. Stattdessen müssen Sie eine Fläche nehmen, deren Grenze zwischen dem mittleren Kontakt und dem Kontakt am Rand verläuft, dann von jedem von ihnen ausgeht und zu einem Galvanometer oder so hinübergeht. Eine Standardwahl für die Oberfläche ist ein Quadrat, das senkrecht zum Rad steht, mit einer Kante entlang der Radachse und der nächsten Kante entlang einem Radius des Rads. Jetzt kommt das Paradoxon, wenn man das erkennt$\vec{B}$ist eigentlich parallel zu dieser Fläche, also$\vec{B} \cdot d\vec{A}$ist überall und immer Null. Es wäre also vernünftig, das zu denken

$$\begin{align} \frac{d \Phi_B}{dt} &= \frac{d}{dt} \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} \\ &= \iint_S \frac{d}{dt} \left( \vec{B} \cdot d\vec{A} \right) \\ &= \iint_S \frac{d}{dt} \left( 0 \right) \\ &= \iint_S 0 \\ &= 0, \end{align}$$ was bedeuten würde $\mathcal{E} = 0$. Aber das ist nicht das, was gemessen wird. Es stellt sich heraus, dass die Herleitung, die ich gerade gegeben habe, falsch ist.

Die obige (falsche) Ableitung verwendete die partielle Ableitung und ignorierte die Bewegung der Oberfläche. Sie können dieses Paradoxon auflösen, wenn Sie sich daran erinnern, dass die fragliche Ableitung die totale Ableitung ist und dass sich die Oberfläche bewegen könnte. Nun, Jackson hat uns gesagt, dass wir einen Pfad benutzen müssen, der in Bezug auf das Medium stationär ist . Die Oberfläche, über die wir integrieren, bewegt sich also in Bezug auf das stationäre Magnetfeld, von dem uns gesagt wurde, und wir müssen das stationäre Feld in Bezug auf die sich bewegende Oberfläche differenzieren. Die Standardmethode zur Beschreibung der Gesamtableitung in einem Material, das sich mit Geschwindigkeit bewegt$\vec{v}$an einem bestimmten Punkt ist die Verwendung des "materiellen Derivats" (auch allgemein als "konvektives Derivat" bekannt):

$$\begin{equation} \frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla}. \end{equation}$$ Um etwas genauer zu sein, verwenden Sie diese Materialableitung, um die Ableitung in Bezug auf sich bewegende Koordinaten zu erhalten, wenn Sie ein Feld mit statischen Koordinaten erhalten. Jetzt bekommen wir $$\begin{align} \frac{d \Phi_B}{dt} &= \frac{d}{dt} \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} \\ &= \iint_S \left[ \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{B} \right] \cdot d\vec{A} \\ &= \iint_S \left[ \vec{\nabla} \times \left( \vec{B} \times \vec{v} \right) + \vec{v} (\vec{\nabla} \cdot \vec{B}) \right] \cdot d\vec{A} \\ &= \iint_S \left[ \vec{\nabla} \times \left( \vec{B} \times \vec{v} \right) \right] \cdot d\vec{A} \\ &= \int_{\partial S} \left( \vec{B} \times \vec{v} \right) \cdot d\vec{l} \end{align}$$ was nicht null ist. [Um von der zweiten zur dritten Zeile zu gelangen, habe ich eine standardmäßige Vektorkalkülidentität mit Annahmen über verwendet $\vec{v}$für unseren Fall. Um vom dritten zum vierten zu gelangen, habe ich die Tatsache genutzt, dass $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$. Um zur letzten Zeile zu gelangen, habe ich den Satz von Stokes verwendet . Erinnere dich daran $\partial S$ist die Grenze von $S$.]

Alternativ könnten wir in Bezug auf stationäre Koordinaten differenzieren, beachten Sie jedoch, dass sich die Oberfläche in diesen Koordinaten ändert. Betrachten wir ein kleines Segment der Grenze$\Delta \vec{l}$, und angenommen, es bewegt sich mit Geschwindigkeit$\vec{v}$, dann nach einiger Zeit$\Delta t$vergangen ist, hat dies eine neue Menge an Fläche in die durch gegebene Oberfläche eingebracht

$$\begin{equation} \Delta \vec{A} = (\vec{v} \Delta t) \times \Delta \vec{l}. \end{equation}$$ Dadurch verändert sich das Flussintegral um $$\begin{equation} \Delta \Phi_B = \vec{B} \cdot \Delta \vec{A} = \vec{B} \cdot (\vec{v} \times \Delta \vec{l}) \Delta t, \end{equation}$$ was impliziert $$\begin{equation} \frac{\Delta \Phi_B}{\Delta t} = \vec{B} \cdot (\vec{v} \times \Delta \vec{l}). \end{equation}$$ Jetzt können wir die Grenzen des Kleinen nehmen $\Delta t$und Klein $\Delta \vec{l}$, dann integrieren Sie die Beiträge von all diesen Kleinen $\Delta \vec{l}$Segmente herum $\partial S$um die Gesamtableitung des Flusses zu erhalten: $$\begin{align} \frac{d \Phi_B}{dt} &= \int_{\partial S} \vec{B} \cdot (\vec{v} \times d\vec{l}) \\ &= \int_{\partial S} \left( \vec{B} \times \vec{v} \right) \cdot d\vec{l}. \end{align}$$ Um von der ersten zur zweiten Zeile zu gelangen, habe ich einfach das übliche skalare Tripelprodukt verwendet . Und das ist das gleiche Ergebnis wie das, das wir mit der materiellen Ableitung erhalten haben – auch hier ist es ungleich Null.

Ich sage nicht, dass irgendetwas davon offensichtlich ist; Aus den einfachen mathematischen Definitionen, die ich oben gegeben habe, geht das sicherlich nicht hervor. Aber das ist alles nur Mathematik. Der entscheidende Punkt, an den Sie sich bei der Anwendung auf die Physik erinnern müssen, ist Jacksons Punkt: Sie müssen Ihren Schaltkreis in Bezug auf das Medium definieren, durch das sich die Elektronen tatsächlich bewegen.

Es gibt wirklich nichts, was uns a priori die Antworten sagt – deshalb mussten Menschen die Experimente durchführen, um herauszufinden, wie Physik funktioniert. Es gibt eine ziemlich gute Diskussion über Feinheiten bezüglich des Faradayschen Gesetzes auf der Wikipedia-Seite zum Faraday-Paradox , aber die bessere Diskussion über das Rad findet sich auf der Seite zur Faraday-Induktion . Und natürlich sollten wir alle Jackson sorgfältiger lesen.

Die Faraday-Scheibe ist einer von zwei Fällen, die Feynman zitiert ( Feynman-Vorlesungen in Physik, Band 2, 17.2), in denen eine EMK induziert wird, jedoch ohne Änderung der Flussverbindung. Dies sind Fälle, in denen die Schaltung keine klar definierte Schleife ist. Diese Ausnahmen treffen die Grundlagen des Elektromagnetismus nicht: Die induzierte EMK wird immer noch korrekt vorhergesagt, indem verwendet wird$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$.

Bei magnetischen Materialien sind es tatsächlich Änderungen des Gesamtfeldes, die EMKs im Material induzieren – wie im Fall von Wirbelströmen.