Winkelmessung bei der Ableitung des Magnetfeldes einer unendlich langen Spule

Ich habe Zweifel an der Ableitung des Magnetfelds in einem unendlich langen Solenoid mit Radius$R$.

Ableiten$B$Alle Schleifen im Solenoid werden betrachtet: in einer Länge$dx$es gibt$n\,dx$Schleifen, die jeweils ein Magnetfeld erzeugen, also haben wir:

$$d B= \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{R^2}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} n \,dx$$

Um zu bekommen$B$, betrachten getrennt Fälle$1$Und$2$wie im bild. In beiden Fällen fließt der Strom wie angegeben ($\times$betritt den Bildschirm,$\odot$geht aus dem Bildschirm), aber die Winkel (ggf$1$ $\theta$, falls$2$ $\phi$) werden von den beiden gegenüberliegenden Seiten des Elektromagneten gemessen.

Fall$1$:

$$\sqrt{R^2+x^2} \,\,\mathrm{sin \theta}=R$$

$$x-x_0=R \mathrm{cotg \theta} \to dx=-\frac{R}{\mathrm{sin^2 \theta}} d\theta$$

$$B(x_0)=\frac{\mu_0 n i }{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} -\mathrm{sin{\theta}} \,\,\,d\theta =\frac{\mu_0 n i }{2} (\mathrm{cos\theta_2}-\mathrm{cos\theta_1})$$

Fall$2$:

$$\sqrt{R^2+x^2} \,\,\mathrm{sin \phi}=R$$

$$x-x_0=-R \mathrm{cotg \phi} \to dx=\frac{R}{\mathrm{sin^2 \phi}} d\theta$$

$$B(x_0)=\frac{\mu_0 n i }{2} \int_{\phi_1}^{\phi_2} \mathrm{sin{\phi}} \,\,\,d\theta =\frac{\mu_0 n i }{2} (\mathrm{cos\phi_1}-\mathrm{cos\phi_2})$$

Hier ist das Problem: In beiden Fällen ist die Grenzbedingung des unendlich langen Elektromagneten, dass der erste Winkel ($\phi_1$oder$\theta_1$) Ist$0$und der zweite Winkel ($\phi_2$oder$\theta_2$) Ist$\pi$.

Trotzdem Ersatz für den Fall$1$Ich bekomme

$$B=-\mu_0 n i$$

während für den Fall$2$Ich bekomme

$$B=+\mu_0 i n$$

was das richtige Ergebnis ist.

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Gibt es einen bestimmten Grund, warum die Winkelmessung wie im Fall erfolgen muss$2$und nicht wie im fall$1$um das richtige Ergebnis zu erhalten? Oder sind beide Methoden gültig? Wenn ja, wie ist es möglich, nur wegen der Ausrichtung der Winkelmessung ein anderes Ergebnis zu erhalten?