Stromverteilung eines rotierenden Kegels

Wenn ich einen Hohlkegel (Oberfläche ohne Bodenabdeckung) wie im Bild habe. Der Kegel hat eine Oberflächenladungsdichte$\sigma$. Es dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit um die Symmetrieachse$\omega$. Ich möchte die Stromverteilung auf der Oberfläche des Kegels finden.

Was ich mit der Verteilung des Stroms meine, ist Folgendes. Ich kann den Strom schreiben als:

Das ist in anderen Situationen nützlich, z. B. wenn ich einen Draht mit linearer Ladungsdichte habe$\lambda$

Ich kann die Gleichung (1) verwenden, um den Strom zu finden, wenn es eine Stromdichte gibt$\lambda$. Wie ich schreiben kann$q=\lambda l$,$\frac{dq}{dl}=\lambda$Und$I=\frac{dq}{dt}=\lambda v$.

Dasselbe gilt für ein aufgeladenes Blatt mit Breite$b$mit Stromdichte$\sigma$. Wie ich schreiben kann$q=\sigma a=\sigma bl$,$\frac{dq}{dl}=\sigma b$Und$I=\frac{dq}{dt}=\sigma bv$.

Aber mit einem Kegel, was kann ich mit dem Kegel machen. ich kann schreiben$q=\sigma a=\sigma \frac{2\pi r}{2l}$. Aber wie die Länge$s_n$eines kreisförmigen Drahtes der Strom variiert von 0 bis$2\pi r$.Anders als vorher, dass die Breite konstant war. Was kann ich machen ?

Mein Versuch die Länge variiert$s=2\pi r_{change}$, Jetzt$q=\sigma \frac{s}{2l}$.$\frac{dq}{dl}=\sigma \frac{1}{2l}$Und$I=\frac{dq}{dt}=\sigma \frac{v}{2l}$.

Es ist klar, dass$v=wr$da es sich um eine Kreisbewegung handelt.