Elektrisches Feld außerhalb des Drahtes mit stationärem Strom

Question

Elektrisches Feld außerhalb des Drahtes mit stationärem Strom

Sorën

Stellen Sie sich einen Leiter beliebiger Struktur vor, in dem ein stationärer Strom fließt

\nabla \cdot \vec{J} = 0

$\nabla \cdot \vec{j}=0$

Ich habe im Lehrbuch keine klaren Erklärungen zu zwei Tatsachen gefunden:

Wie genau entsteht das elektrische Feld außerhalb des Leiters? (insbesondere die normale Komponente).
Gibt es Ladungsdichten auf der Oberfläche des Leiters?

Ich weiß das, im Dirigenten

\vec{J} = σ \vec{E}

$\vec{j} = \sigma \vec{E}$

( $\sigma$ ist Leitfähigkeit). Und zwar die tangentiale Komponente von $E$ wird immer geschont.

Da außerdem die normale Komponente von $\vec{j}$ bleibt erhalten (dies folgt aus $\nabla \cdot \vec{j}=0$ ), Und $\sigma_{ext}=0$ wir haben das

J_{N, ich N T} = J_{N, e X T} = σ_{ich N T} E_{N, ich N T} = σ_{e X T} E_{N, e X T} = 0

$j_{n,int}=j_{n,ext}=\sigma_{int}E_{n,int}=\sigma_{ext}E_{n,ext}=0$

Das heißt, es gibt keinen normalen Strom auf der Oberfläche.

Aber was ist $E_{n,ext}$ ? Daraus kann ich nichts schließen.

Wenn es eine Oberflächendichte von Ladungen (benannt $\varsigma$ ), dann wäre es

E_{N, e X T} = \frac{ς}{ϵ_{0}}

$E_{n,ext}=\frac{\varsigma}{\epsilon_0}$ Aber ich bin mir nicht sicher, ob Anklagen vorliegen.

Zusammenfassend sollte es meiner Meinung nach sein

{\begin{cases} E_{T, e X T} = E_{T, ich N T} = E_{ich N T} = \frac{J}{σ} \\ E_{N, e X T} = \frac{ς}{ϵ_{0}} \\ E_{N, ich N T} = 0 \end{cases}

$\begin{cases} E_{t,ext}=E_{t,int}=E_{int}=\frac{j}{\sigma} \\ E_{n,ext}=\frac{\varsigma}{\epsilon_0} \\ E_{n,int}=0 \end{cases}$

Ist das so richtig oder gibt es Fehler?

Benutzer130529

Ich denke, Ihre Aussagen sind richtig, abgesehen davon, dass ich den Sprung nicht glaube

[\vec{j} . n] = 0

$[\vec{j}.n] = 0$ Folgt aus

\nabla \cdot \vec{j} = 0

$\nabla \cdot \vec{j}=0$ (letzteres impliziert das nur

\int_{\partial Ω} [\vec{j} . n] φ d s = \int_{Ω} (\nabla . \vec{j}) φ + \vec{j} . \nabla φ d x = \int_{Ω} \vec{j} . \nabla φ d x

$\int_{\partial \Omega} [\vec{j}.n] \ \varphi \ ds = \int_{\Omega} (\nabla .\vec{j})\ \varphi + \vec{j}.\nabla \varphi \ dx = \int_{\Omega} \vec{j}.\nabla \varphi \ dx$ für alle Testfunktionen

φ

$\varphi$ ). Nichtsdestotrotz,

{\vec{j}}_{i n t} . n = 0

$\vec{j}_{int}.n= 0$ Und

{\vec{j}}_{e x t} = 0

$\vec{j}_{ext}=0$ , die Aussage ist also richtig.

Sorën

Danke für die Antwort! Das elektrische Feld außerhalb eines Leiters mit fließendem Strom ist also ungleich Null, es ist normal zum Leiter und gleich

E_{N} = \frac{ς}{ϵ_{0}}

$E_n=\frac{\varsigma}{\epsilon_0}$ ?

Benutzer130529

Weitere Details finden Sie in meiner Antwort unten.

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Elektrisches Feld außerhalb des Drahtes mit stationärem Strom

Ich denke, Ihre Aussagen sind richtig, abgesehen davon, dass ich den Sprung nicht glaube $[\vec{j}.n] = 0$ Folgt aus $\nabla \cdot \vec{j}=0$ (letzteres impliziert das nur $\int_{\partial \Omega} [\vec{j}.n] \ \varphi \ ds = \int_{\Omega} (\nabla .\vec{j})\ \varphi + \vec{j}.\nabla \varphi \ dx = \int_{\Omega} \vec{j}.\nabla \varphi \ dx$ für alle Testfunktionen $\varphi$ ). Nichtsdestotrotz, $\vec{j}_{int}.n= 0$ Und $\vec{j}_{ext}=0$ , die Aussage ist also richtig.
Danke für die Antwort! Das elektrische Feld außerhalb eines Leiters mit fließendem Strom ist also ungleich Null, es ist normal zum Leiter und gleich $E_{N} = \frac{ς}{ϵ_{0}}$ $E_n=\frac{\varsigma}{\epsilon_0}$ ?

Benutzer130529 · Answer 1

Die Frage scheint kniffliger zu sein, als ich zuerst vermutet habe, siehe zum Beispiel diese Frage oder jene Frage . Ich schlage die folgende Vorgehensweise vor, um auf der sicheren Seite zu bleiben.

Nehmen wir an, der Leiter sei ein unendlicher Zylinder, der Strom $\vec{j}$ innerhalb des Leiters einheitlich sein.

Wir nehmen auch an, dass Ihre Annahme über eine Oberflächendichte von Ladungen $\varsigma$ gilt, das heißt, die (nach außen gerichtete) Normalkomponente des elektrischen Feldes ist gegeben durch

E_{N, e X T} = \frac{ς}{ϵ_{0}} .

$E_{n,ext}=\frac{\varsigma}{\epsilon_0}.$ Es entspricht dem äußeren elektrischen Radialfeld

{\vec{E}}_{R} (R) = \frac{ς A}{ε_{0} R} {\vec{e}}_{R}

$\vec{E}_r(r)=\frac{\varsigma a}{\varepsilon_0 r}\vec{e}_{r}$ Wo

a

$a$ ist der Radius des Leiters,

r

$r$ ist der Abstand zur Achse des Leiters und

{\vec{e}}_{r}

$\vec{e}_{r}$ ist der übliche Einheitsvektor senkrecht zur Achse des Leiters.

Dann müssen wir die Komponente hinzufügen $\vec{E}_z(r)$ verbunden sein mit $\vec{E}_{t,ext} = \frac{j}{\sigma}\vec{e}_{z}$ Wo $\vec{e}_{z}$ ist der Einheitsvektor entlang der Achse des Leiters, der angenommen wird $z$ Achse. Das Magnetfeld $\vec{B}$ hängt nicht von der Zeit ab, daher folgt dies aus den Maxwell-Gleichungen $\Delta \vec{E}=0$ außerhalb des Dirigenten. Tatsächlich haben wir

Δ \vec{E} = \nabla (\nabla . \vec{E}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = 0 - \nabla \times \frac{\partial \vec{B}}{\partial T} = 0.

$\Delta \vec{E}=\nabla (\nabla.\vec{E})−\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=0−\nabla \times\frac{\partial \vec{B} }{\partial t}=0.$ Als

Δ {\vec{E}}_{r} = 0

$\Delta \vec{E}_r=0$ Und

\vec{E} = {\vec{E}}_{r} + {\vec{E}}_{z}

$\vec{E} = \vec{E}_r+\vec{E}_z$ , wir haben auch

Δ {\vec{E}}_{z} = 0

$\Delta \vec{E}_z=0$ . Eine Lösung ist einfach durch das konstante Feld gegeben

{\vec{E}}_{z} (R) = \frac{J}{σ} {\vec{e}}_{z} .

$\vec{E}_z(r)=\frac{j}{\sigma}\vec{e}_{z}.$ Es gibt andere Lösungen, die die Protokollfunktion beinhalten, aber diese sind nicht darauf beschränkt, wann

r \to \infty

$r \to \infty$ , also möchten Sie sie vielleicht nicht berücksichtigen.

Schließlich ist das gesamte äußere elektrische Feld gegeben durch

\vec{E} (R) = {\vec{E}}_{R} (R) + {\vec{E}}_{z} (R) = \frac{ς A}{ε_{0} R} {\vec{e}}_{R} + \frac{J}{σ} {\vec{e}}_{z} .

$\vec{E}(r) = \vec{E}_r(r)+\vec{E}_z(r) = \frac{\varsigma a}{\varepsilon_0 r}\vec{e}_{r}+\frac{j}{\sigma}\vec{e}_{z}.$

Xynon · Answer 2

Nur meine Meinung darüber, warum ich denke, dass es um einen Draht mit konstantem Strom ein elektrisches Nettofeld geben muss.

Um einen konstanten Strom in einem Draht zu haben, muss es einen Spannungsgradienten durch den Draht geben (weshalb ich es nicht vorziehen würde, eine unendliche Drahtlänge mit unendlichem Widerstand in Betracht zu ziehen).

Stellen Sie sich einen geraden Draht vor, der einfach an jedem Ende mit zwei identischen Batterien verbunden ist. Der Strom ist konstant und es gibt einen Spannungsgradienten. Die Spannung (relativ zur Masse) ist an einem theoretischen Punkt in der Mitte des Kabels null und steigt allmählich in - und +-Werten zum rechten und linken Ende des Kabels an.

Betrachten wir die Hälfte des Drahtes mit negativer Spannung.

Der Spannungsgradient sollte durch die freien Elektronen verursacht werden, die auf eine höhere Dichte komprimiert werden als in ihrem Ruhezustand (die gleich der Ladungsdichte der positiven Ionen/Kerne ist). Diese erhöhte Dichte ist auf den Widerstand des Drahtes zurückzuführen. Sie müssen Elektronen schieben, um den Widerstand zu überwinden, und durch Drücken quetschen Sie sie in eine höhere Dichte, wodurch sie mehr negative Ladungen haben als in ihrem Ruhezustand, in dem sich alle + und - Ladungen zu einem elektrischen Nettofeld von Null aufheben.

Für die positive Spannungshälfte des Drahtes ist es dasselbe, außer dass Sie die Elektronen nicht komprimieren, sondern absaugen und sie verdünnen. Der Spannungsgradient wird hier durch den Überschuss an positiven Ionen verursacht. Die Dichte nimmt zum Ende des Drahtes hin immer mehr zu und entspricht dort schließlich der Batteriespannung.

Es gibt also auf jeder Hälfte einen Überschuss an negativen und positiven Ladungen. Dies sollte ein statisches elektrisches Dipolfeld um den Draht herum verursachen. Und wie viel Strom wird durch diesen Spannungsgradienten erzeugt? Dies hängt vom spezifischen Widerstand und der Länge des Kabels ab.

Eine hydrodynamische Analogie: Sie haben eine Pumpe mit einer bestimmten Druckversorgung. Es gibt einen Druckgradienten, der nur durch den Pumpendruck und die Rohrlänge bestimmt wird. Sie haben also ein etwas dichteres, komprimiertes Wasser als im Ruhezustand. Wie viel Strömung wir bekommen, hängt vom hydrodynamischen Widerstand des Wassers ab.

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