Faradaysches Gesetz in Schaltkreisen mit mehreren Schleifen und unterschiedlichen Magnetfeldern

Question

Faradaysches Gesetz in Schaltkreisen mit mehreren Schleifen und unterschiedlichen Magnetfeldern

Sorën

Ich bin verwirrt über die Anwendung des Faradayschen Gesetzes in Situationen mit einem Stromkreis aus zwei Schleifen, die zwei sich unterschiedlich ändernde Magnetflüsse einschließen. Welche der beiden ist richtig?

Die EMK in jeder Schleife hängt nur von dem sich ändernden magnetischen Fluss ab, der in dieser Schleife eingeschlossen ist .
Die EMK in jeder Schleife hängt sowohl von dem sich ändernden magnetischen Fluss ab, der in dieser Schleife eingeschlossen ist , als auch von dem sich ändernden Fluss, der von den umgebenden Schleifen eingeschlossen ist .

Ich mache ein Beispiel, um die beiden Optionen zu zeigen. Betrachten Sie die Schaltung aus zwei Schleifen.

Im Fall A umschließt jeweils ein anderes Solenoid, wo magnetisches Feld $B$ ändert sich in der Zeit (und wird auf zwei verschiedene Arten gelenkt).

Im Fall B umschließt nur eine der Schleifen einen sich ändernden magnetischen Fluss, da es keine linke Magnetspule gibt.

Im Fall A soll nach 1. der Strom in der linken Schleife nur vom Magnetfeld der linken Magnetspule abhängen.

Und im Fall B sollte die Gesamt-EMK in der linken Schleife Null sein, da es keinen sich ändernden Magnetfluss gibt, der von der linken Schleife eingeschlossen ist, das heißt

{emf}_{l e F T l Ö Ö P} = \oint_{l e F T l Ö Ö P} E_{ich N D u C e D} \cdot D l = - \frac{D}{D T} Φ_{beigefügt} = 0

$\textrm{emf}_{\mathrm{left \, loop}}=\oint_{\mathrm{left \,\, loop}} E_{\mathrm{induced}} \cdot \mathrm dl =-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \Phi_\textrm{enclosed}=0$

Trotzdem ist in beiden Fällen ein Zweig (der mit $R_2$ ) ist zwischen den beiden Schleifen gemeinsam und dort sollte die EMK auch vom rechten Solenoid beeinflusst werden (und gegebenenfalls ungleich Null sein). $B$ ). Dies führt zu einem Widerspruch zu dem oben Gesagten.

Also ist 1. oder 2. richtig?

Antworten (2)

Faradaysches Gesetz in Schaltkreisen mit mehreren Schleifen und unterschiedlichen Magnetfeldern

GeeJay · Answer 1

Ich denke, von allen Maxwell-Gleichungen ist es das Faradaysche Gesetz, das Sie am meisten testet. Aber man muss bedenken, dass es immer, immer, immer gilt. Alles, was Sie tun müssen, ist eine Schleife auszuwählen.

ist richtig. Wenn Sie Ihre Schleife ausgewählt haben, vergessen Sie für eine Weile alles andere und konzentrieren Sie sich nur auf die Schleife. Hier ist der Algorithmus:

Fragen Sie sich, gibt es einen sich ändernden Fluss durch meine Schleife? Wenn ja, ist das Ihre EMK. Wenn nicht, ist die EMK Null. Beachten Sie jedoch, dass null EMK in einer Schleife nicht null Strom darin bedeutet.

Finden Sie nun alle potenziellen Einbrüche oder Anstiege, die der Strom in der Schleife erfährt, und setzen Sie ihre Summe gleich $\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm dt}$ . In diesem Schritt finde ich die Mesh-Current -Methode am nützlichsten.

Schauen Sie sich jetzt nur die linke Schleife an:

{ICH}_{1} R_{1} + ({ICH}_{1} + {ICH}_{2}) R_{2} = \frac{D ϕ_{1}}{D T}

$I_1R_1+(I_1+I_2)R_2=\frac{\mathrm d\phi_1}{\mathrm dt}$

..und dann genau an der richtigen Schleife:

{ICH}_{2} R_{3} + ({ICH}_{1} + {ICH}_{2}) R_{2} = \frac{D ϕ_{2}}{D T}

$I_2R_3+(I_1+I_2)R_2=\frac{\mathrm d\phi_2}{\mathrm dt}$

Wenn $I_1$ Und $I_2$ sind die Unbekannten, dies reicht aus, um sie zu lösen.

Sie können dies auch für die "super"-Schleife tun:

{ICH}_{1} R_{1} - {ICH}_{2} R_{3} = \frac{D ϕ_{1}}{D T} - \frac{D ϕ_{2}}{D T}

$I_1R_1-I_2R_3=\frac{\mathrm d\phi_1}{\mathrm dt}-\frac{\mathrm d\phi_2}{\mathrm dt}$

Alle drei Gleichungen liefern das gleiche Ergebnis.

In Bezug auf 2. wird die EMK in einer Schleife nicht durch die umgebende EMK beeinflusst, der darin enthaltene Strom jedoch. In Bild B gibt es einen Strom in der linken Schleife, aber die Summe der Potentialunterschiede, auf die dieser Strom trifft, ist Null, weil die EMK Null ist. dh:

{ICH}_{1} R_{1} + ({ICH}_{1} + {ICH}_{2}) R_{2} = 0

$I_1R_1+(I_1+I_2)R_2=0$

Sie können die anderen beiden Gleichungen auch umschreiben und ändern $\frac{\mathrm d\phi_1}{\mathrm dt}$ Zu $0$ sowohl.

Ich hoffe, das hat geholfen!

Vielen Dank für diese klare und vollständige Antwort! Wenn ich darf, ist in meinem Lehrbuch die Übung, aus der das Bild stammt, etwas im Gegensatz zu 1. gelöst (und deshalb habe ich gefragt). Betrachten Sie Situation A: Es wird eine Lehrbuchmaschenstrommethode verwendet, und die Gleichung ist die gleiche, die Sie vorgeschlagen haben, abgesehen von der Tatsache, dass die in jeder Schleife berücksichtigte EMK die (minus) Zeitableitung des von dieser Schleife plus eingeschlossenen Magnetflusses ist $1/4$ der zeitlichen Ableitung des Flusses in der anderen Schleife , und dies wird damit begründet, dass "das wegen des gemeinsamen zentralen Zweigs" gesagt wird.
Das heißt (das linke Solenoid anrufen $1$ und das rechte Solenoid $2$ , und wenn man bedenkt, dass das Magnetfeld $B$ ist in beiden Solenoiden gleich, aber zeitlich unterschiedlich) ${\begin{cases} {ich}_{1} R_{1} + ({ich}_{1} + {ich}_{2}) R_{2} = \frac{D B}{D T} π R_{1}^{2} + \frac{1}{4} \frac{D B}{D T} π R_{2}^{2} \\ {ich}_{2} R_{2} + ({ich}_{1} + {ich}_{2}) R_{2} = \frac{D B}{D T} π R_{2}^{2} + \frac{1}{4} \frac{D B}{D T} π R_{1}^{2} \end{cases}$ $\begin{cases} i_1 R_1+ (i_1+i_2) R_2=\frac{dB}{dt} \pi r_1^2 + \frac{1}{4}\frac{dB}{dt} \pi r_2^2 \\ i_2 R_2+ (i_1+i_2) R_2=\frac{dB}{dt} \pi r_2^2 + \frac{1}{4}\frac{dB}{dt} \pi r_1^2 \end{cases}$ Warum das so ist, kann ich nicht erklären $1/4$ der EMK sollte berücksichtigt werden, neben der EMK, die durch eingeschlossenen sich ändernden magnetischen Fluss verursacht wird. Könnt ihr mir hierzu Vorschläge machen?
@Sørën Ich sehe keinen Grund, warum diese zusätzliche EMK berücksichtigt werden sollte.

Lelouch · Answer 2

ist die richtige Idee. Dies liegt daran, dass wir aus den Maxwell-Gleichungen in Differentialform haben:

$\nabla \times \vec E$ = - $\frac{\partial \vec B}{\partial t}$

Nun, mit dem Gesetz von Stoke wissen wir das für die Kräuselung einer Vektorfunktion $F$ über die Oberfläche $S$ , mit Grenze $B$ Folgendes gilt:

$\iint_S (\nabla \times \vec F).da$ = $\int_B \vec F . dr$

Wenn wir dies auf die obige Maxwell-Gleichung anwenden, haben wir für einen ausgewählten Bereich $S$ und seine Grenze $B$ :

$\iint_S (\nabla \times \vec E).da$ = - $\iint_S (\frac{\partial \vec B}{\partial t}).da$ = $\int_B \vec E . dr$ . Der mittlere Term bezeichnet den Fluss (bei konstanter Fläche $S$ wie in dem Beispiel, das Sie oben erwähnt haben). Beachten Sie, dass der Fluss die induzierte EMK nur um die gewählte Grenze herum angibt $B$ .

Also, um es zusammenzufassen, wählen Sie einen Schaltungspfad und finden Sie den Fluss nur durch diese Grenze. Finden Sie die EMK und damit den Strom in allen Zweigen. Tun Sie dies für alle möglichen Konturen in der Schaltung. Wenden Sie das Superpositionsprinzip für jeden Zweig an und finden Sie so den Nettostrom durch jeden Teil des Stromkreises.

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