Wie verwendet man den allgemeinen Ausdruck der Kraft zwischen zwei Stromkreisen, um die Kraft zwischen zwei Drähten zu finden?

Question

Wie verwendet man den allgemeinen Ausdruck der Kraft zwischen zwei Stromkreisen, um die Kraft zwischen zwei Drähten zu finden?

Sorën

Der allgemeine Ausdruck der Kraft zwischen zwei Kreisen $1$ Und $2$ mit Strömungen $i_1$ Und $i_2$ und mit Linienelementen $\bf{dl_1}$ Und $\bf{dl_2}$ (infinitesimale Vektoren, die in Stromrichtung zeigen) ist die folgende. Die ausgeübte Kraft durch $1$ An $2$ Ist :

\begin{matrix} (1) & F_{1, 2} = \frac{μ_{0} {ich}_{1} {ich}_{2}}{4 π} \oint_{1} \oint_{2} \frac{\hat{R_{1, 2}} (D l_{1} \cdot D l_{2})}{R_{1, 2}^{2}} \end{matrix}

$\bf{F_{1,2}}= \mathrm{\frac{\mu_0 i_1 i_2}{4 \pi}} \oint_{1} \oint_{2} \frac{\hat{r_{1,2}} ( \bf{dl_1} \cdot \bf{dl_2})}{\mathrm{r^2_{1,2}}} \tag{1}$

Wo $\hat{r_{1,2}}$ ist der Einheitsvektor, von dem ausgeht $1$ Zu $2$ Und $r_{1,2}$ ist der Abstand zwischen den beiden Punkten der bei der Integration betrachteten Schaltungen.

Ich verstehe die Formel, aber ich kann nicht sehen, wie ich sie verwenden soll, um die Kraft pro Längeneinheit zwischen unendlich langen parallelen Drähten mit Strömen zu finden $i_1$ Und $i_2$ . Die ausgeübte Kraft durch $1$ An $2$ in diesem Fall ist:

\begin{matrix} (2) & \frac{F_{1, 2}}{l} = \frac{μ_{0} {ich}_{1} {ich}_{2}}{2 π R_{1, 2}} \hat{R_{1, 2}} \end{matrix}

$\frac{\bf{F_{1,2}}}{\mathit{l}}= \mathrm{\frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi \,\,\mathrm{r_{1,2}}}}\hat{r_{1,2}}\tag{2}$

Es ist leicht zu finden $(2)$ auf andere Weise, aber ich würde gerne wissen, wie man es benutzt $(1)$ in diesem speziellen Fall.

Daher stellt sich die Frage: wie zu verwenden $(1)$ finden $(2)$ ?

Versuch: hier $\bf{dl_1} \cdot \bf{dl_2}= |dl_1|\,\,| dl_2|$ und beide $\bf{\hat{r_{1,2}}}$ Und $r_{1,2}$ sind konstant, also sollte es gerecht sein

\begin{matrix} (3) & F_{1, 2} = \frac{μ_{0} {ich}_{1} {ich}_{2}}{4 π} \frac{\hat{R_{1, 2}}}{R_{1, 2}^{2}} \oint_{1} D l_{1} \oint_{2} D l_{2} = \frac{μ_{0} {ich}_{1} {ich}_{2}}{4 π} \frac{\hat{R_{1, 2}}}{R_{1, 2}^{2}} l^{2} \end{matrix}

$\bf{F_{1,2}}= \mathrm{\frac{\mu_0 i_1 i_2}{4 \pi}} \frac{\hat{r_{1,2}} }{\mathrm{r^2_{1,2}}} \oint_{1} \mathrm{dl_1} \oint_{2} \mathrm{dl_2}= \mathrm{\frac{\mu_0 i_1 i_2}{4 \pi}} \frac{\hat{r_{1,2}} }{\mathrm{r^2_{1,2}}} \mathit{l^2} \tag{3}$

Unter der Annahme, dass die Länge des Drahtes (annähernd als unendlich lang, ist $l$ ). Trotzdem das Ergebnis in $(3)$ geht ganz dirrenent aus $(2)$ und ich sehe nicht, wo ich falsch liege.

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Nichts · Answer 1

$r_{1,2}$ ist die (Lauf-)Entfernung der infinitesimalen Linienelemente $l_1$ Und $l_2$ (Letztere können wir als Positionen auf einer Achse interpretieren, die durch die Richtung auf den Drähten definiert ist), also können wir sie nicht aus den Integralen herausziehen.

Sagen $R$ ist der Abstand zwischen den beiden Drähten. Von Pythagoras bekommen wir die Regel

R_{1, 2}^{2} = R^{2} + (l_{2} - l_{1})^{2} .

$r_{1,2}^2 = R^2 + (l_2-l_1)^2.$ Jetzt erstmal rausziehen

{\hat{R}}_{1, 2}

$\mathbf {\hat R_{1,2}}$ als Gesamteinheitsvektor, da wir wissen, dass dies aus der "Mittelung" über alles hervorgeht

l_{1}

$l_1$ ,

l_{2}

$l_2$ : (da bin ich mir aber nicht sicher)

F_{1, 2} = \frac{μ_{0} {ich}_{1} {ich}_{2}}{4 π} {\hat{R}}_{1, 2} \int_{1} D l_{1} \int_{2} D l_{2} \frac{1}{R_{1, 2}^{2}}

$\mathbf F_{1,2} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{4\pi} \mathbf { \hat R_{1,2} } \int_1 dl_1 \int_2 dl_2 \frac{1}{r_{1,2}^2}$

Wenden Sie nun die Ersetzung von an $r_{1,2}$ :

F_{1, 2} = \frac{μ_{0} {ich}_{1} {ich}_{2}}{4 π} {\hat{R}}_{1, 2} \int_{1} D l_{1} \int_{2} D l_{2} \frac{1}{R^{2} + (l_{2} - l_{1})^{2}}

$\mathbf F_{1,2} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{4\pi} \mathbf { \hat R_{1,2} } \int_1 dl_1 \int_2 dl_2 \frac{1}{R^2 + (l_2-l_1)^2}$

Lösung der $l_2$ integral gibt uns ein arcustangens:

F_{1, 2} = \frac{μ_{0} {ich}_{1} {ich}_{2}}{4 π} {\hat{R}}_{1, 2} \int_{1} D l_{1} (- \frac{1}{R} \arctan \frac{l_{1} - l_{2}}{R} |_{l_{2} = - \infty}^{+ \infty})

$\mathbf F_{1,2} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{4\pi} \mathbf { \hat R_{1,2} } \int_1 dl_1 \left( - \frac{1}{R} \arctan{\frac{l_1-l_2}{R}} \vert_{l_2=-\infty}^{+\infty} \right)$

der arctan wird $-\pi$ aus $l_2$ Grenzwertauswertung; somit wäre das ergebnis:

\frac{F_{1, 2}}{l} = \frac{μ_{0} {ich}_{1} {ich}_{2}}{4 R} {\hat{R}}_{1, 2}

$\frac{\mathbf F_{1,2}}{l} =\frac{\mu_0 i_1 i_2}{4R} \mathbf { \hat R_{1,2} }$

Diese unterscheidet sich nur um einen Faktor von $2/\pi$ von der wahren Lösung. Ich denke, es gibt nur ein winziges Problem, das wir nicht berücksichtigt haben. (Sind wir zum Beispiel wirklich sicher, dass die Closed-Circuit-Gleichung hier anwendbar ist?)

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Sorën

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