Magnetfeld im Zentrum einer rotierenden geladenen Kugel

Question

Magnetfeld im Zentrum einer rotierenden geladenen Kugel

giobrach

Lassen $\Sigma$ eine Kugel mit Radius sein $R$ mit gleichmäßiger Flächendichte aufgeladen $\sigma$ . Angenommen $\Sigma$ rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ , berechnen Sie das Magnetfeld im Mittelpunkt der Kugel.

Vermuten $\boldsymbol \omega = \omega \mathbf{\hat z}$ . Wir haben eine Oberflächenströmung

K (R^{'}) = σ v (R^{'}) = σ ω \times ρ

$\mathbf K(\mathbf r') = \sigma \mathbf v(\mathbf r') = \sigma \boldsymbol \omega \times \boldsymbol \rho$ Wo

ρ

$\boldsymbol \rho$ ist die Vektortrennung

r^{'}

$\mathbf r'$ von der Rotationsachse (die

z

$z$ Achse). Da in sphärischen Koordinaten (

θ

$\theta$ Längengrad,

φ

$\varphi$ Breitengrad) können wir schreiben

ρ = R \cos φ \hat{r}

$\boldsymbol \rho = R \cos \varphi \mathbf{\hat r}$ , wir haben

K (R^{'}) = σ v (R^{'}) = σ ω R \cos φ \hat{θ}

$\mathbf K(\mathbf r') = \sigma \mathbf v(\mathbf r') = \sigma\omega R\cos\varphi \boldsymbol{\hat \theta}$ Das Magnetfeld am Ursprung ist gegeben durch

\begin{aligned} B (0) & = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{Σ} \frac{K (R^{'}) \times (- R \hat{R})}{R^{3}} D A^{'} = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \int_{0}^{2 π} \frac{σ ω R^{2} \cos φ^{'} \hat{z}}{R^{3}} R^{2} \cos φ^{'} D θ^{'} D φ^{'} \\ = \frac{μ_{0} R σ ω}{2} \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \cos^{2} φ^{'} D φ^{'} \hat{z} = \frac{π}{4} μ_{0} R σ ω \hat{z} \end{aligned}

$\begin{split} \mathbf B(\mathbf 0) &= \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_\Sigma \frac{\mathbf K(\mathbf r') \times (-R \mathbf{\hat r})}{R^3} \mathop\!\mathrm{d}a' = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \int_0^{2\pi} \frac{\sigma\omega R^2\cos\varphi'\ \mathbf{\hat z}}{R^3} R^2\cos \varphi' \mathop\!\mathrm{d}\theta' \mathop\!\mathrm{d}\varphi' \\ &= \frac{\mu_0R\sigma\omega}{2}\int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \cos^2\varphi' \mathop\!\mathrm{d}\varphi'\ \mathbf{\hat z} = \frac{\pi}{4} \mu_0 R \sigma \omega \ \mathbf{\hat z} \end{split}$ Mir wurde jedoch gesagt, dass die Antwort lauten sollte

B (0) = \frac{2}{3} μ_{0} R σ ω \hat{z}

$\mathbf B(\mathbf 0) = \frac 2 3 \mu_0 R \sigma \omega\ \mathbf{\hat z}$ Was habe ich falsch gemacht?

BEARBEITEN: Dank der Kommentare und Antworten von secavara habe ich meinen Fehler herausgefunden: Zylinderkoordinaten mit sphärischer Integration verwechselt. In der Tat $\boldsymbol{\hat \theta} \times \mathbf{\hat r}$ ist nicht $\mathbf{\hat z}$ : wir haben

\hat{θ} \times \hat{R} = - \hat{φ} = - (\cos φ \hat{z} - Sünde φ \hat{u})

$\boldsymbol{\hat \theta} \times \mathbf{\hat r} = - \boldsymbol{\hat \varphi} = - (\cos\varphi \mathbf{\hat z} - \sin \varphi \mathbf{\hat u})$ wenn wir mit bezeichnen

\hat{u}

$\mathbf{\hat u}$ der radiale Einheitsvektor in Zylinderkoordinaten. Die Integration sollte also gehen

\begin{aligned} B (0) & = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{Σ} \frac{K (R^{'}) \times (- R \hat{R})}{R^{3}} D A^{'} = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \int_{0}^{2 π} \frac{σ ω R^{2} \cos φ^{'} \hat{φ}}{R^{3}} R^{2} \cos φ^{'} D θ^{'} D φ^{'} \\ = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \int_{0}^{2 π} \frac{σ ω R^{2} \cos φ^{'} (\cos φ^{'} \hat{z} - Sünde φ^{'} \hat{u})}{R^{3}} R^{2} \cos φ^{'} D θ^{'} D φ^{'} \\ = \frac{μ_{0} σ ω R}{2} (\int_{- π / 2}^{+ π / 2} \cos^{3} φ^{'} D φ^{'} \hat{z} - \int_{- π / 2}^{+ π / 2} Sünde φ^{'} \cos^{2} φ^{'} D φ^{'} \hat{u}) \\ = \frac{μ_{0} σ ω R}{2} (\frac{4}{3} \hat{z} - 0 \hat{u}) = \frac{2}{3} μ_{0} σ ω R \hat{z} \end{aligned}

$\begin{split} \mathbf B(\mathbf 0) &= \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_\Sigma \frac{\mathbf K(\mathbf r') \times (-R \mathbf{\hat r})}{R^3} \mathop\!\mathrm{d}a' = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \int_0^{2\pi} \frac{\sigma\omega R^2\cos\varphi'\ \color{red}{\boldsymbol{\hat \varphi}}}{R^3} R^2\cos \varphi' \mathop\!\mathrm{d}\theta' \mathop\!\mathrm{d}\varphi' \\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \int_0^{2\pi} \frac{\sigma\omega R^2\cos\varphi'\ (\cos\varphi' \mathbf{\hat z} - \sin \varphi' \mathbf{\hat u})}{R^3} R^2\cos \varphi' \mathop\!\mathrm{d}\theta' \mathop\!\mathrm{d}\varphi' \\ &= \frac{\mu_0\sigma\omega R}{2} \left(\int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \cos^3\varphi' \mathop\!\mathrm{d}\varphi'\ \mathbf{\hat z} - \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \sin \varphi' \cos^2\varphi' \mathop\!\mathrm{d}\varphi'\ \mathbf{\hat u} \right) \\ &= \frac{\mu_0\sigma\omega R}{2} \left(\frac 4 3\ \mathbf{\hat z} - 0\ \mathbf{\hat u}\right) = \frac 2 3 \mu_0\sigma\omega R\ \mathbf{\hat z} \end{split}$ und das ist die richtige Antwort. Danke!

secavara

Seien Sie vorsichtig bei der Transformation zwischen Einheitsvektoren unterschiedlicher Koordinatensysteme. Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Konvention für die Winkel verstehe, aber macht es Sinn, dass der Strom in den fließt

\hat{θ}

$\hat{\theta}$ Richtung?

giobrach

Ich verstehe nicht, warum es nicht sollte: Die Kugel dreht sich um die

z

$z$ Achse, also treibt es die Ladungsdichte in die

\hat{θ}

$\boldsymbol{\hat \theta}$ Richtung (ein "Ladungsfleck" zeichnet einen Kreis, der auf der vertikalen Achse im Gegenuhrzeigersinn zentriert ist). Wir sollten erwarten, dass der Strom an den Polen verschwindet, und das tut er tatsächlich aufgrund des Kosinusterms in der zweiten Gleichung

secavara

Ach du

θ

$\theta$ ist der Azimutwinkel (mit einem Bereich von

2 π

$2\pi$ ) und dein

ϕ

$\phi$ ist Ihr Polarwinkel (mit einem Bereich von

π

$\pi$ ), Ok, ich finde diese Konvention verwirrend, aber das ist in Ordnung. Ist

\hat{r}

$\hat{r}$ der sphärische radiale Einheitsvektor oder der zylindrische radiale Einheitsvektor?

giobrach

Sphärisch. Meine Konvention für die Komponenten ist

{\begin{cases} X = R \cos φ \cos θ \\ j = R \cos φ Sünde θ \\ z = R Sünde φ \end{cases}

$\begin{cases} x = r\cos\varphi\cos\theta \\ y = r\cos\varphi\sin\theta \\ z = r\sin\varphi \end{cases}$

Antworten (1)

Magnetfeld im Zentrum einer rotierenden geladenen Kugel

Seien Sie vorsichtig bei der Transformation zwischen Einheitsvektoren unterschiedlicher Koordinatensysteme. Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Konvention für die Winkel verstehe, aber macht es Sinn, dass der Strom in den fließt $\hat{\theta}$ Richtung?
Ich verstehe nicht, warum es nicht sollte: Die Kugel dreht sich um die $z$ Achse, also treibt es die Ladungsdichte in die $\boldsymbol{\hat \theta}$ Richtung (ein "Ladungsfleck" zeichnet einen Kreis, der auf der vertikalen Achse im Gegenuhrzeigersinn zentriert ist). Wir sollten erwarten, dass der Strom an den Polen verschwindet, und das tut er tatsächlich aufgrund des Kosinusterms in der zweiten Gleichung
Ach du $\theta$ ist der Azimutwinkel (mit einem Bereich von $2\pi$ ) und dein $\phi$ ist Ihr Polarwinkel (mit einem Bereich von $\pi$ ), Ok, ich finde diese Konvention verwirrend, aber das ist in Ordnung. Ist $\hat{r}$ der sphärische radiale Einheitsvektor oder der zylindrische radiale Einheitsvektor?
Sphärisch. Meine Konvention für die Komponenten ist ${\begin{cases} X = R \cos φ \cos θ \\ j = R \cos φ Sünde θ \\ z = R Sünde φ \end{cases}$ $\begin{cases} x = r\cos\varphi\cos\theta \\ y = r\cos\varphi\sin\theta \\ z = r\sin\varphi \end{cases}$

secavara · Answer 1

secavara

Ok, ich glaube, ich habe es endlich verstanden. Ich bin so an meine Konvention gewöhnt, dass ich sie in meiner machen und dann in deine übersetzen musste. Ihnen fehlt ein zusätzlicher Faktor von $\cos \phi$ im Integranden: Sie haben einen vom Strom, einen vom Volumenelement und einen vom Kreuzprodukt dazwischen $\hat{\theta}$ Und $\hat{r}$ .

giobrach

Warum taucht der dritte Kosinusterm auf? Ist das nicht das Triple

\hat{r}, \hat{θ}, \hat{z}

$\mathbf{\hat r}, \boldsymbol{\hat \theta}, \mathbf{\hat z}$ orthonormal?

secavara

Nö. In Ihrer Konvention sind die orthonormalen Tripel

\hat{θ}, \hat{z}, \hat{ρ}

$\hat{\theta},\hat{z},\hat{\rho}$ (zylindrisch) bzw

\hat{θ}, \hat{ϕ}, \hat{r}

$\hat{\theta},\hat{\phi},\hat{r}$ (kugelförmig).

giobrach

Ah! Das war dumm von mir. Ich danke Ihnen für Ihre Hilfe!

Magnetfeld im Zentrum einer rotierenden geladenen Kugel

giobrach

secavara

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secavara

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