Was sind die Anwendungen von Deltafunktionspotentialen?

Gibt es reale Anwendungen für die Verwendung von Delta-Funktionspotentialen in der Quantenmechanik (außer der Verwendung als exakt lösbares Spielzeugmodell in einführenden Lehrbüchern der Quantenmechanik für Studenten)?

Jede Anwendung im wirklichen Leben wird eine Annäherung sein ... vorausgesetzt, δ -Funktionen werden angezeigt, wenn ein Partikel in einer Box gefangen ist (zum Beispiel)
Beim Googeln fand ich dieses Beispiel

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Das beste Beispiel, das mir einfällt, ist die Modellierung eines Kristalls über eine Reihe von Delta-Funktionen mit gleichem Abstand . Dieser Satz von beabstandeten Delta-Funktionen wird als Delta-Kamm bezeichnet und hat mehrere Anwendungen, nicht nur in der Quantenmechanik :-).

Es gibt viele Anwendungen, obwohl Sie sie eher etwas getarnt sehen.

  • Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung in 1d: Dies ist eine Quantenfeldtheorie, die das Gas von Teilchen beschreibt, die mit Deltafunktionspotentialen interagieren. Dies ist sowohl ein theoretisch wichtiges Modell, da es durch Bethe-Ansatz lösbar ist, als auch experimentell verwendet, um bestimmte optische Systeme zu modellieren.
  • Das relativistische Quant ϕ 4 Modell: In der nichtrelativistischen Grenze ist dies eine nichtlineare Schrödinger-Gleichung, so dass Sie einem relativistischen Gas von Teilchen mit Delta-Abstoßung am nächsten kommen können. Das Studium der N-Kopien-Version davon zeigt Ihnen die Statistiken von selbstvermeidenden Random Walks in 2D und 3D, und dies kann als ein Pfad mit einer unendlichen Delta-Funktions-Abstoßung zu sich selbst und zu anderen Pfaden desselben angesehen werden Typ. Die Analyse dieses Modells und seine Verbindung zur Polymer-Selbstvermeidung wird deGennes zugeschrieben.

Man kann sich also vorstellen, dass das Higgs-Boson eine Delta-Funktions-Abstoßung gegenüber anderen Higgs-Bosonen im Standardmodell oder dem nächsten relativistischen Analogon hat. Darüber hinaus gibt es ein einfaches Universalitätsergebnis

  • Die Streuung jedes lokalisierten Potentials in 1d-Asymptoten zur Streuung eines Delta-Potentials für lange Wellenlängen.

Dies gilt bei entsprechender Qualifikation auch in höheren Dimensionen. In 2d und höher gibt es einen zusätzlichen Skalierungsfaktor, der Ihnen sagt, dass die Streuung bei langen Wellenlängen gedämpft wird. Sie können sich dies als die Wahrscheinlichkeit vorstellen, dass das Random-Walking Path-Integral den Interaktionsbereich findet. Die Dämpfung erfolgt um einen Faktor, der analog zur Wiederkehrzeit einer Irrfahrt ist, sie ist logarithmisch in |k| (für kleine |k|) 2d und um eine Potenz von k in höheren Dimensionen. Dies bedeutet, dass es sich um ein nützliches Spielzeugmodell für die Renormierung handelt.

Aus diesem Grund ist das Delta-Potential 1-d-spezifisch. Wenn Sie versuchen, ein höherdimensionales Delta-Potential zu definieren, müssen Sie den Koeffizienten in der Delta-Funktionsgrenze neu normalisieren, um eine feste Grundzustandsenergie zu erhalten, und in 3D und höher haben Sie wirklich keinen vernünftigen Grundzustand. Sie können dies sehen, indem Sie das inverse Problem lösen --- beginnen Sie mit einem (reell positiven) Grundzustandsansatz

ψ 0 ( X ) = e − W

und finden Sie das Potential, das W zu einem Grundzustand macht:

v ( X ) = 1 2 | ∇ W | 2 + 1 2 ∇ 2 W

In 1d können Sie diese Herstellung sehen W = | X | ergibt die Delta-Funktion (aus dem zweiten Term). In höheren Dimensionen erhält man die Coulomb-Kraft aus dem gleichen Ansatz. Der Delta-Well ist also in dieser Denkweise ein 1d-Analogon des Coulomb-Wells.

Auch nur für 1d können Sie den Delta-Well verwenden, um ein Oberflächenbindungspotential zu beschreiben, da die Bewegung in der senkrechten Richtung gebunden ist. Es ist ein sehr wichtiges Modell, da es die universelle Punktgrenze ist.

Schön, also sehen die ersten beiden Punkte wie Anwendungen mit kondensierter Materie aus. Können Sie einige Referenzen angeben? Auch habe ich den Teil über das Higgs-Boson nicht bekommen (ein Hinweis hier wäre OK). Danke.
@Revo: Das Higgs-Boson interagiert mit Quart selbst, erfährt also eine Delta-Funktionsabstoßung von anderen Higgs-Bosonen. Ich glaube nicht, dass es eine Referenz gibt, ich habe das Beispiel erfunden, um Ihre Frage zu beantworten. Ich versuche, nur Aussagen zu machen, die nicht in Referenzen zu finden sind (oder zumindest selten in Referenzen zu finden sind). Eine ausgezeichnete Referenz für die nichtlineare Schrödinger-Gleichung ist "Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions" von Korepin/Bogoliubov/Izergin.
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