Was sind die möglichen Magnetfelder mit konstanter Größe?

Eine jetzt gelöschte Antwort auf diese aktuelle Frage hat mich dazu veranlasst, mich darüber zu wundern, und ich kann in der obersten Ebene der Google-Ergebnisse keine klare Antwort finden, also dachte ich, ich würde hier fragen.

Was sind die möglichen Magnetfelder mit konstanter Größe?

Das heißt, angenommen B : R 3 → R 3 Ist

  • Solenoid, also ∇ ⋅ B = 0 , Und
  • mit konstanter Größe | B ( R ) | ≡ B 0 .

Was kann man dazu sagen B ? Ist die Solenoiditätsbedingung stark genug, um dies zu implizieren? B ( R ) muss ein konstantes Vektorfeld sein? Oder kann sich die Richtung des Vektorfeldes von Punkt zu Punkt ändern? Wenn ja, kann eine allgemeine Beschreibung dieser Klasse von Feldern formuliert werden?

Wenn Sie "konstant" sagen, meinen Sie keine Änderung der Zeit oder keine Änderung des Raums? Ich denke, die Antwort von @knzhou geht davon aus, dass Sie nach Zeitvariationen fragen. Was meiner Meinung nach die üblichere Bedeutung ist. Ein Feld ist einheitlich, wenn der Wert überall (zumindest in einigen Regionen) gleich ist.
@nasu Dies ist eine Anforderung mit konstanter Größe zusätzlich zu einem magnetostatischen (dh zeitlich konstanten) Rahmen. Die mathematische Spezifikation ist eindeutig.
@EmilioPisanty Ich denke, ein Ansatz hier könnte darin bestehen, zu schreiben B = ∇ × A Wo ∇ ⋅ A = 0 . Das verlangen ∇ ( | B 2 | ) = 0 wird Ihnen dann eine Bedingung geben A obwohl ich nicht sicher bin, ob es hübsch ist.
Ich nehme an, Sie schließen eine Stromschicht in einem Flugzeug aus, weil das Feld im Flugzeug nicht regelmäßig ist?
@Ben Ich habe es hauptsächlich ausgeschlossen, weil ich nicht an die Möglichkeit gedacht hatte ;-). Aber ja, es ist wahrscheinlich eine gute Idee, dies auf normale Felder zu beschränken.

Antworten (2)

Teilantwort: Wenn es keine Ströme gibt, müssen alle diese Magnetfelder konstant sein.

In Abwesenheit von Strömungen haben wir

∇ ⋅ B = 0 , ∇ × B = 0.
Der kräuselfreie Zustand ist gleichbedeutend mit ∂ ich B J = ∂ J B ich , wie es klar ist, wenn man es in Form von Differentialformen schreibt. Als Ergebnis verschwindet der Laplace-Operator jeder Feldkomponente,
∂ 2 B ich = ∂ J ∂ J B ich = ∂ J ∂ ich B J = ∂ ich ( ∂ J B J ) = 0.
Der Laplace-Operator der Größe im Quadrat ist daher
∂ 2 | B | 2 = 2 B ich ∂ 2 B ich + 2 ( ∂ J B ich ) ( ∂ J B ich ) = 2 ( ∂ J B ich ) 2 .
Seit | B | 2 konstant ist, ist die linke Seite Null und ebenso jeder Term auf der rechten Seite. Aber dann ∂ J B ich = 0 , So B ist konstant.

Wenn es Strömungen gibt, nehmen wir einen zusätzlichen Begriff auf,

∂ 2 B ich ∼ ( ∇ × ∇ × B ) ich ∼ ( ∇ × J ) ich .
Daher geht das Argument auch durch if ∇ × J = 0 . Ich bin mir nicht sicher, was die Antwort für allgemein ist J .

Die Energie eines Magnetfeldes ist [Jackson, Classical Electrodynamics (1975) p. 216, umgerechnet in SI-Einheiten]

W = 1 2 ∫ H ⋅ B D 3 X .

In einem Vakuum,

H = B / μ 0 ,

So

W = 1 2 ∫ B 2 D 3 X .

Integriert über den ganzen Raum, die Energie eines Feldes mit Konstante B 2 ist unendlich, es sei denn B = 0 . Somit ist das einzig mögliche Magnetfeld mit konstanter Größe identisch Null. Beachten Sie, dass die Richtung von B spielt keine Rolle, weil es in einem Skalarprodukt mit sich selbst steht.

In einem diamagnetischen oder paramagnetischen Körper ersetzen μ 0 von μ und Sie erhalten das gleiche Ergebnis. Nicht, dass es unendlich viele diamagnetische oder paramagnetische Körper gäbe!

Dies beantwortet die Frage nicht.
Es besagt, dass die möglichen Magnetfelder mit konstanter Größe identisch Null sind. Wie beantwortet das die Frage nicht?
Dies beantwortet die Frage im Titel, aber nicht die im Text. Ich nehme an, es ist technisch korrekt, aber ich denke, es war aus der Frage klar, dass der Geist "was sagen die Maxwell-Gleichungen über ein Feld mit konstanter Größe aus?
Die negativen Reaktionen erscheinen mir seltsam und ein weiteres Beispiel dafür, was für eine feindliche Umgebung der Stack Exchange ist. Es ist das zweite Mal, dass ich eine richtige Antwort gegeben habe und dafür abgelehnt wurde. Wenn ich nachweisen kann, dass ein Feld identisch Null ist, was soll ich dann noch sagen?
Sie haben nicht gezeigt, dass das Magnetfeld Null ist, Sie haben gezeigt, dass, wenn das Magnetfeld über unendlichen Raum konstant ist und die Energie des Magnetfelds endlich sein muss, das Magnetfeld Null sein muss. Dies sind keine Annahmen, die das OP wahrscheinlich akzeptiert. Ein ähnliches Argument würde sagen, dass das Universum nicht isotrop sein kann.
Wofür steht „OP“?
Und was meinen Sie mit „diesen“ Annahmen? Ich habe nicht angenommen, dass das Magnetfeld konstant ist, sondern nur seine Größe, die ein ausdrücklicher Teil der Frage war.
Sie werden wahrscheinlich herabgestuft, weil Sie durch die Annahme endlicher Energie die ganze Frage umgehen. Es ist, als würde man eine Frage über einfache harmonische Bewegungen mit „einfache harmonische Bewegung ist völlig unmöglich, weil sie notwendigerweise ewig so weitergehen würde, aber in 5 Milliarden Jahren wird die Sonne die Erde verzehren“ beantworten.
Auf die eine oder andere Weise müssen Sie Randbedingungen haben, die sonst niemand berücksichtigt hat. Das Erfordernis endlicher Energie impliziert eine Art von Randbedingung ("Regelmäßigkeit im Unendlichen"), die üblicherweise in den Grundlagen des Ferromagnetismus verwendet wird.
Was sind die möglichen Magnetfelder mit konstanter Größe?
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