Warum ist curl der Stromdichte ∇×J⃗ ∇×J→\nabla \times \vec{J} gleich Null?

Question

Warum ist curl der Stromdichte ∇×J⃗ ∇×J→\nabla \times \vec{J} gleich Null?

Physik
Vektorfelder
Magnetostatik
Differenzierung
Magnetfelder
Elektromagnetismus

GDumphart

Ich überarbeite die Ableitung für $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ in der Magnetostatik für das Feld $\vec{B}(\vec{r})$ einer Gebühr $q$ an Stelle $\vec{0}$ mit Geschwindigkeit $\vec{v}$ . Es geht wie

\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{B} & = \nabla \cdot \frac{μ_{0} Q}{4 π} \frac{\vec{v} \times \vec{R}}{R^{3}} \propto \nabla \cdot \frac{\vec{v} \times \vec{R}}{R^{3}} = \frac{\vec{R}}{R^{3}} \cdot \underset{= 0}{\underset{⏟}{(\nabla \times \vec{v})}} - \vec{v} \cdot (\nabla \times \frac{\vec{R}}{R^{3}}) \\ = \vec{v} \cdot (\nabla \times (- \frac{\vec{R}}{R^{3}})) = \vec{v} \cdot (\nabla \times \nabla \frac{1}{R}) = \vec{v} \cdot \vec{0} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \cdot \vec{B} &= \nabla \cdot \frac{\mu_0 q}{4\pi} \frac{\vec{v} \times \vec{r}}{r^3} \propto \nabla \cdot \frac{\vec{v} \times \vec{r}}{r^3} = \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot \underbrace{(\nabla \times \vec{v})}_{=0} - \vec{v} \cdot \left( \nabla \times \frac{\vec{r}}{r^3}\right) \\ &= \vec{v} \cdot \left( \nabla \times \left(-\frac{\vec{r}}{r^3}\right) \right) = \vec{v} \cdot \left( \nabla \times \nabla \frac{1}{r} \right) = \vec{v} \cdot \vec{0} = 0 \end{align}$

So weit, ist es gut. Das Problem, das ich habe, ist mit dem Schritt $\nabla \times \vec{v} = \vec{0}$ , dh $\nabla \times \vec{J} = \vec{0}$ . Mein Haupttext verwirft den jeweiligen Begriff kommentarlos und eine andere Herleitung, die ich nachgeschlagen habe, sagt, dass dies offensichtlich ist. Warum gilt das? Und ist es wirklich offensichtlich? Schließlich gibt es ein Phänomen namens kreisförmige Wirbelströme.

Benutzer4552

Der Titel der Frage lässt es so klingen, als würden Sie denken, dass die Kräuselung der Stromdichte immer Null ist, und Sie möchten wissen, warum. Es ist nicht immer null. In diesem Beispiel ist es nur Null (weil die Geschwindigkeit als konstant angenommen wird).

Antworten (6)

Warum ist curl der Stromdichte ∇×J⃗ ∇×J→\nabla \times \vec{J} gleich Null?

Der Titel der Frage lässt es so klingen, als würden Sie denken, dass die Kräuselung der Stromdichte immer Null ist, und Sie möchten wissen, warum. Es ist nicht immer null. In diesem Beispiel ist es nur Null (weil die Geschwindigkeit als konstant angenommen wird).

Kyle Kanos · Answer 1

Ich denke, der bessere Weg, dies abzuleiten, ist, zuerst das Biot-Savart-Gesetz zu beachten .

\begin{matrix} (1) & B (R) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int J (R^{'}) \times \frac{\hat{R}}{R^{2}} D v^{'} \end{matrix}

$\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf J(\mathbf r')\times\frac{\hat{r}}{r^2}\,\mathrm dV'\tag{1}$ Seit

\frac{\hat{R}}{R^{2}} = - \nabla_{R} (\frac{1}{R})

$\frac{\hat r}{r^2}=-\nabla_r\left(\frac1r\right)$ (Ihr Text kann dies ableiten, wenn nicht, können Sie es beweisen, indem Sie mit der rechten Seite beginnen), wir können (1) schreiben als

\begin{matrix} (2) & B (R) = - \frac{μ_{0}}{4 π} \int J (R^{'}) \times \nabla_{R} (\frac{1}{R}) D v^{'} \end{matrix}

$\mathbf B(\mathbf r)=-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf J(\mathbf r')\times\nabla_r\left(\frac{1}{r}\right)\,\mathrm dV'\tag{2}$ Seit

J

$\mathbf J$ ist eine Funktion bzw

r^{'}

$r'$ und nicht

r

$r$ , können wir es in die Klammer setzen und die Reihenfolge des Kreuzprodukts vertauschen (d. h.

J \times \nabla = - \nabla \times J

$\mathbf J\times\nabla=-\nabla\times\mathbf J$ ),

\begin{matrix} (3) & B (R) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \nabla_{R} \times \frac{J (R^{'})}{R} D v^{'} = \nabla_{R} \times \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (R^{'})}{R} D v^{'} \end{matrix}

$\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla_r\times\frac{\mathbf J(r')}{r}\,\mathrm dV'\tag{3}=\nabla_r\times\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf J(r')}{r}\,\mathrm dV'$ Dann können wir das Vektorpotential definieren als

A (R) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (R^{'})}{R} D v^{'}

$\mathbf A(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf J(r')}{r}\,\mathrm dV'$ Zu bekommen

\begin{matrix} (4) & B (R) = \nabla \times A (R) \end{matrix}

$\mathbf B(\mathbf r)=\nabla\times\mathbf A(\mathbf r)\tag{4}$ wo wir den Index löschen

r

$r$ weil es impliziert, dass es vorbei ist

r

$\mathbf r$ .

Nach diesem Beweis können wir die Divergenz von (4) übernehmen:

\nabla \cdot B = \nabla \cdot \nabla \times A \equiv 0

$\nabla\cdot\mathbf B=\nabla\cdot\nabla\times\mathbf A\equiv0$ durch die Tatsache, dass die Divergenz jeder Windung identisch Null ist (der Mühe wert, dies zu beweisen).

@GDumphart: $\hat r$ ist der Einheitsvektor, einige Autoren wählen dies fett, $\hat{\mathbf r}$ , aber ich vernachlässige das oft, da der Hut den Einheitsvektor anzeigt . Seit $\hat r=\mathbf r/\vert\vert\mathbf r\vert\vert$ , Dann $\hat r/r^2\equiv\mathbf r/\vert\mathbf r\vert^3$ .
Ich bin immer noch misstrauisch, dass Ihre ursprüngliche Formel ein gültiges Biot-Savart ist, ohne es zu verwenden $(\boldsymbol r-\boldsymbol{r}') / \|\boldsymbol r-\boldsymbol{r}'\|^3$ im Integranden. Ihren Weg könnte man sogar ziehen $\hat{r}/\boldsymbol r^2$ aus dem Integral, was die Entfernung eines Stroms wiedergibt $\boldsymbol J( \boldsymbol r')$ zum Magnetfeld bei $\boldsymbol r$ irrelevant. Dies hat jedoch höchstwahrscheinlich keinen Einfluss auf die Korrektheit aller anderen Schritte.
@GDumphart: Der Wikipedia-Link (er war ursprünglich dort, aber irgendwie nicht aktiv, bis ich ihn gerade repariert habe) zeigt, dass dies ein gültiges Biot-Savart-Gesetz ist, ebenso wie alle drei meiner E & M-Texte. Du kannst nehmen $\hat r/r^2$ aus dem Integral heraus (unter Berücksichtigung der Minuszeichen), ist daran nichts auszusetzen.
Dies ist entweder eine Frage der Notation oder Annahme vs. Allgemeinheit. Die Version von @GDumphart ist im Allgemeinen korrekter. Die einleitenden Texte, die das Biot-Savart-Gesetz einführen, schreiben es wahrscheinlich so, weil sie es für implizit halten $\vec{r}$ ist eigentlich $\vec{r}-\vec{r}'$ , Wo $r$ ist der Punkt, an dem $\vec{B}(\vec{r})$ wird abgetastet und $\vec{r}'$ ist ein Punkt im Integral, über das integriert wird. Meiner Meinung nach ist diese inkonsequente Verwendung von $\vec{r}$ Und $\vec{r}'$ trübt ihre Notation und sorgt für Verwirrung. Schauen Sie sich Jacksons E&M an. Wikipedia hat es seit Ihrem Beitrag behoben.
Es ist NICHT wahr, das zu sagen $\hat{r}/r^2$ kann allgemein aus dem Integral herausgenommen werden. Der Grund dafür ist, dass die tatsächliche Menge ist $(\vec{r}-\vec{r}')/\|\vec{r}-\vec{r}'\|$ , was sicherlich eine Funktion von ist $\vec{r}'$ . Der Fall, in dem Sie es aus dem Integral herausnehmen könnten, ist, wenn Sie in eine Kreisschleife integrieren (die typische Beispielanwendung). In diesem Fall könnten Sie das Vektorintegral als Skalarintegral behandeln, weil $\|\vec{r}-\vec{r}'\|$ und das Kreuzprodukt fest sind. Wikipedia hat seine Gl. seit deinem post. Jacksons E&M hat Recht und sorgt für Diskussionen.
@jvriesem: Wenn du denkst, dass es falsch ist oder weitere Details fehlen, kannst du gerne deine eigene Antwort schreiben. So wie es aussieht, bin ich mit dem Beitrag ziemlich zufrieden, was er sagt und dass er die Frage von OP beantwortet (wenn auch auf indirekte Weise).

Fred · Answer 2

Ich mag es auch nicht, wenn Autoren behaupten, Dinge seien offensichtlich. Wenn es so einfach ist, warum schreibst du es nicht einfach auf.

Jedenfalls in Bezug auf diesen speziellen Fall. Wenn Sie zur Definition der Locke gehen, werden Sie sehen, dass dies eine Sammlung partieller Ableitungen in Bezug auf die Position ist .

Zu behaupten, dass die Kräuselung Null ist, bedeutet also zu behaupten, dass die Geschwindigkeit unabhängig von der Partikelposition ist, dh. Es wird angenommen, dass keine anderen Felder vorhanden sind, weder gravitative noch elektrische.

Ich liebe deinen ersten Satz. Sie sollten jedoch sehr vorsichtig sein, wenn Sie sagen, ob $v$ hängt von den Koordinaten ab oder nicht. In einer Flüssigkeit zum Beispiel schon, je nachdem, wie man an das Problem herangeht.

Chloé Seppälä Zetterberg · Answer 3

Es ist die Divergenz des B-Feldes und nicht die eigentliche Quelle. Er hätte schreiben sollen $\boldsymbol u'$ für den Geschwindigkeitsvektor.

$\boldsymbol J$ kann als kräuselfrei definiert werden, aber in Wirklichkeit gibt es so etwas wie eine kräuselfreie Stromdichte nicht.

Sogar im Inneren einer Strömung werden Sie feststellen, dass die Strömung dazu neigt, sich um die Stromachse zu winden. Die Plasmaphysik ist sehr komplex.

Jaseon Quanta · Answer 4

Die Antwort von Kanos ist gut. Um es besser zu verstehen, beachten Sie das anfangs erwähnte BS-Gesetz

\begin{matrix} (1) & B (R) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int J (R^{'}) \times \frac{\hat{R}}{R^{2}} D v^{'} \end{matrix}

$\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf J(\mathbf r')\times\frac{\hat{r}}{r^2}\,\mathrm dV'\tag{1}$ Das r von B links ist der Radiusvektor vom Ursprung, Ihrem Beobachtungspunkt. Aber das r in der Integralformel sollte als Entfernung von der Quelle (

r^{'}

$r'$ ) zu der Position, die Sie derzeit in Betracht ziehen. So würde ich (nach der Gewohnheit meines Lehrers) schreiben

\begin{matrix} (1) & B (X) = \frac{μ_{0}}{4 π} ∭ J (R^{'}) \times \frac{R}{R^{3}} D v^{'} \end{matrix}

$\mathbf B(\mathbf x)=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint\mathbf J(\mathbf r')\times\frac{\mathbf {r}}{r^3}\,\mathrm dV'\tag{1}$ Wo

\frac{R}{R^{3}} = \frac{\hat{R}}{R^{2}} = \nabla (- \frac{1}{R})

$\frac{\mathbf {r}}{r^3} = \frac{\hat {r}}{r^2} = \nabla \left(-\frac {1}{r}\right)$ Außerdem zeigt seine Antwort genau die Logik, wenn Sie das Vektorpotential einführen .

Hallo Jaseon, beachten Sie, dass Sie durch Akzeptieren der Bearbeitung von @IamAStudent einige Ihrer Kommentare gelöscht und einige der verwendeten Notationen geändert haben.
Nur zur Verdeutlichung, ich habe nur die Bearbeitungen der mathematischen Notation angegeben. Alles andere ist von jemand anderem.
@IamAStudent warum hast du dich geändert " $\LaTeX$ ed $r$ -prime“ bis „fetter Text $r$ -backtick"? Backtick ähnelt nicht einmal einer Primzahl und sieht an seiner Stelle hässlich aus.
@Ruslan, das ist auch von OP. Hoffentlich hat OP inzwischen gelernt, wie man mathematische Ausdrücke setzt!
@IamAStudent bitte schauen Sie sich die Revisionshistorie genauer an. Das OP änderte sich **r`**zu $r'$ 1:07:41 Z, während Ihre Bearbeitung bei 1:31:42 Z genehmigt wurde und dieses bestimmte Stück zurücksetzt. Könnte aber in Zeiten von Redaktion vs. Freigabe eine Kollision gewesen sein. Ich denke, ich werde Ihre Bearbeitung rückgängig machen, da es mit dem aktuellen Verlauf so aussieht, als wäre es destruktiv.
@IamAStudent nein, schau dir den Bearbeitungsverlauf an . Deine Bearbeitung hat einiges gelöscht. Wahrscheinlich nicht beabsichtigt, wie Ruslan betonte, aber es war definitiv Ihre Bearbeitung.
@KyleKanos, dann bin ich am verwirrtesten darüber, wie das passieren konnte, da ich mich nur daran erinnere, dass ich die beiden Gleichungen berührt hatte.
@IamAStudent Ich vermute, dass Sie Ihre Bearbeitung basierend auf v1 (dem ersten Beitrag) vorgeschlagen haben und Jaseon dann weitere Details hinzugefügt hat, bevor Ihre Bearbeitung genehmigt wurde. Da Ihre Bearbeitung auf v1 basierte, gingen alle Details aus v2 verloren. Auch hier sagt niemand, dass es böswillige Absicht war, es scheint nur ein Zufall der Versionskontrolle zu sein, also machen Sie sich nicht so viele Gedanken darüber.
Das tut mir ein bisschen leid. In der Tat war die erste Version meiner Antwort seltsam, da ich neu bei stackextrange war und mit der Verwendung nicht vertraut war. @IamAStudent war freundlich, meine Antwort schnell zu bearbeiten, aber es schien mit meiner neuen Ausgabe zu kollidieren. Vielen Dank an alle für die Aufklärung und Unterstützung. Aber wie auch immer, meine Antwort war nur ein einfacher Patch und beantwortete nicht direkt die Frage des Posters nach Js Curl gleich 0.

Sean E. Lake · Answer 5

Das kommt mir wie "Richtige Antwort, falscher Grund" vor. Betrachten Sie das klassische Problem der Magnetostatik, das Sie mit dem Ampere-Gesetz lösen können, dem unendlich langen stromführenden Draht mit gleichmäßiger Stromdichte $J$ und Radius $R$ . Mit dem Ampereschen Gesetz findest du das heraus

\begin{aligned} B (R) & = {\begin{cases} μ_{0} \frac{J π R^{2}}{2 π R} \hat{ϕ} & R \geq R \\ μ_{0} \frac{J π R^{2}}{2 π R} \hat{ϕ} & R < R . \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{B}(r) &= \left\{\begin{array}{ll} \mu_0\frac{J\pi R^2}{2\pi r} \hat{\phi} & r \ge R \\ \mu_0\frac{J\pi r^2}{2\pi r}\hat{\phi} & r < R. \end{array}\right. \end{align}$

Innerhalb des Drahtes die Locke von $\mathbf{J}$ Null ist, dasselbe für außerhalb des Drahtes. An der Oberfläche des Drahtes jedoch die Kräuselung $\mathbf{J}$ hat eine Spitze (Dirac-Delta-Funktion), die Sie mit dem Satz von Stoke überprüfen können.

Die richtige Antwort ist, dass die Herleitung des Buches mehrdeutig ist. Die Antwort von Kanos bietet eine Alternative, aber das Vektorpotential wird nicht benötigt. Was Sie wirklich brauchen, ist, die Beziehung mit einer etwas detaillierteren, aber eindeutigen Notation auszudrücken. Wir teilen die $r$ aus dem Biot-Savart-Gesetz, um zwei unabhängige Variablen zu erhalten - eine, die eine Integrationsvariable ist, die andere, die keine ist.

B (R) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int J (R^{'}) \times \frac{R - R^{'}}{{| R - R^{'} |}^{3}} D^{3} R^{'} .

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3} \operatorname{d}^3 r'.$ Notiz:

J (r^{'})

$\mathbf{J}(\mathbf{r}')$ ist keine Funktion von

r

$\mathbf{r}$ , wenn Sie also versuchen, irgendwelche Derivate in Bezug auf irgendwelche zu nehmen

r

$\mathbf{r}$ koordinieren, erhalten Sie Null.

Wir erhalten also:

\begin{aligned} \nabla \cdot B (R) & = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \nabla \cdot [J (R^{'}) \times \frac{R - R^{'}}{{| R - R^{'} |}^{3}}] D^{3} R^{'} . \end{aligned}

$\begin{align} \nabla\cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}) & = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \nabla\cdot \left[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3} \right] \operatorname{d}^3 r'. \end{align}$ Wenden Sie nun die Kreuzproduktidentität des Vektorkalküls an .

\nabla \cdot (A \times B) = (\nabla \times A) \cdot B - A \cdot (\nabla \times B)

$\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = (\nabla\times \mathbf{A})\cdot \mathbf{B} - \mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})$ mit

A = J

$\mathbf{A}=\mathbf{J}$ Und

B = \frac{r - r^{'}}{{| r - r^{'} |}^{3}}

$\mathbf{B}=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3}$ zu bekommen

\begin{aligned} \nabla \cdot B (R) & = \frac{μ_{0}}{4 π} \int [(\nabla \times J (R^{'})) \cdot \frac{R - R^{'}}{{| R - R^{'} |}^{3}} - J (R^{'}) \cdot (\nabla \times \frac{R - R^{'}}{{| R - R^{'} |}^{3}})] D^{3} R^{'} . \end{aligned}

$\begin{align} \nabla\cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}) & = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \left[(\nabla\times\mathbf{J}(\mathbf{r}'))\cdot \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3} - \mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot \left(\nabla\times\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3} \right)\right] \operatorname{d}^3 r'. \end{align}$ Das erste Kreuzprodukt verschwindet, weil

J (r^{'})

$\mathbf{J}(\mathbf{r}')$ ist keine Funktion von

r

$\mathbf{r}$ Und

\nabla

$\nabla$ ist ein Derivat in der

r

$\mathbf{r}$ Koordinaten. Dass das zweite Kreuzprodukt verschwindet, kann mit ein wenig Algebra oder einigen in anderen Antworten besprochenen Tricks gezeigt werden.

Cinaed Simson · Answer 6

Die Locke eines Vektorfeldes $\vec v$

\nabla \times \vec{v}

$\nabla \times \vec v$ misst die Rotationsbewegung des Vektorfeldes.

Nehmen Sie Ihre Hand, strecken Sie Ihren Daumen aus und krümmen Sie Ihre Finger.

Wenn der Daumen das Modell für den Fluss des Vektorfeldes ist, dann

\nabla \times \vec{v} = 0.

$\nabla \times \vec v =0.$

Wenn das Krümmen Ihrer Finger dann das Modell für den Fluss des Vektorfeldes ist

\nabla \times \vec{v} \neq 0

$\nabla \times \vec v \neq 0$

und misst die Rotationsbewegung des Vektorfelds.

Daher der Name „Curle“.

Warum ist curl der Stromdichte ∇×J⃗ ∇×J→\nabla \times \vec{J} gleich Null?

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