Gleichung für das Feld eines magnetischen Dipols

Auf den Seiten 187 und 188 erklärt Jackson den Grund für diesen singulären Begriff. Nehmen Sie einen Dipol, dessen Magnetisierung gleichmäßig in einer Radiuskugel verteilt ist$R$dann kann man das zeigen$\int_{r<R} \textbf{B}\: d^3{x} =\frac{2\mu_0}{3}\textbf{m}$Wo$\textbf{m}$ist das Gesamtdipolmoment. Wenn man den Radius der Kugel verkleinert$R\to 0$die Kugel wird punktförmig, aber das Integral bleibt gleich.

Interessanterweise wäre der Term auf der rechten Seite, wenn der Dipol aus einem Paar monopolartiger Ladungen resultieren würde, die infinitesimal nahe beieinander liegen, und nicht aus einem zirkulierenden Strom$-\frac{\mu_0}{3}\textbf{m}$. Auf Seite 191 kommentiert Jackson, dass die Hyperfeinlinie des Wasserstoffs bei 42 cm und nicht bei 21 cm usw. liegen würde. Dies widerspricht dem Experiment, das impliziert, dass die Quelle des intrinsischen magnetischen Dipols Strom ist.

Mit etwas Dirac-Delta-"Magie" gibt es auch eine sehr interessante Transformation der Formel für das von Ihnen zitierte B-Feld, nämlich:

$$\textbf{B}(\textbf{r}) = \mu_0 \textbf{m}\delta(\textbf{r}) - \mu_0 \nabla\frac{1}{4\pi} \frac{\textbf{m}\cdot \textbf{r}^0} {|\textbf{r}|^2}$$ Der Skalar$\phi(\textbf{r})= \frac{1}{4\pi} \frac{\textbf{m}\cdot \textbf{r}^0} {|\textbf{r}|^2}$ist natürlich das Potential des Dipols$\textbf{m}$.

Nun, wenn anstelle eines einzelnen Dipols$\textbf{m}$Wir haben eine solche Verteilung$d\textbf{m}=\textbf{M}dV$dann bekommen wir

$\textbf{B}(\textbf{r}) =\left\{\begin{matrix} \mu_0 \textbf{M}(\textbf{r})+ \mu_0 \textbf{H}(\textbf{r}) & \textbf{r}\in V\\ \mu_0 \textbf{H}(\textbf{r}) & \textbf{r}\notin V \end{matrix}\right.$

Die Magnetisierung nimmt den 3d-Bereich ein$V$und das$\textbf{H}$ist als Gradient des Skalarpotentials definiert

$$\textbf{H}(\textbf{r})=-\nabla\phi(\textbf{r})$$ Und $$\phi(\textbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{\textbf{r}'\in V} \frac{\textbf{M}\cdot (\textbf{r}-\textbf{r}')^0} {|\textbf{r}-\textbf{r}'|^2}dV$$