Lässt sich das Vektorpotential für eine singuläre Funktion χχ\chi schreiben als A=∇χA=∇χ\mathbf A = \nabla \chi?

Stellen Sie sich ein Magnetfeld vor B = Φ δ ( X ) δ ( j ) z ^ . Das entsprechende Vektorpotential wird A = Φ 2 π R θ ^ in Zylinderkoordinaten. Darüber hinaus dürfen wir schreiben A als Gradient ∇ χ wenn wir wählen χ = Φ θ / 2 π . Beachten Sie, dass die Singularität von χ ist unvermeidbar.

Betrachten Sie nun ein Magnetfeld B = C δ ( j ) z ^ , Wo C ist eine Konstante. Das entsprechende Vektorpotential ist A = C Zeichen ⁡ j X ^ bis konstant. Kann dieses Vektorpotential als Gradient einer singulären Skalarfunktion geschrieben werden?

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Das entsprechende Vektorpotential ist A → = 1 2 C S G N ( j ) X ^ , weil S G N ( j ) = 2 H ( j ) − 1 und daher D D j S G N ( j ) = 2 δ ( j ) . Betrachten Sie den Helmholz-Zerlegungssatz für ein Vektorfeld F → ( R → ) :

F → ( R → ) = ∇ → [ − 1 4 π ∫ D v ' ( ∇ → ⋅ F → ) ( R → ' ) | R → − R → ' | ] + ∇ → × [ 1 4 π ∫ D v ' ( ∇ → × F → ) ( R → ' ) | R → − R → ' | ] .
Nun die Abweichung von A → Ist 0 . Wir erhalten also, dass es nur als Drehung geschrieben werden kann. Obwohl durch dieses Argument eine konstante Funktion F → ( R → ) = C X ^ könnte nicht auch als Gradient beschrieben werden, was nicht stimmt: F → ( R → ) = ∇ → C X . Vielleicht kann das Helmholzsche Theorem hier doch nicht helfen, da es das eben zeigt A → kann als Drehung geschrieben werden, während es nicht zeigt, dass es nicht als Gradient geschrieben werden kann.

Dieses Magnetfeld ist das eines unendlich langen, unendlich dünnen stromführenden Solenoids entlang der z-Richtung, also handelt es sich um den Aharonov-Bohm-Effekt. Das Vektorpotential kann nicht als Gradient einer einwertigen Skalarfunktion geschrieben werden, außer am Ursprung.

Lässt sich das Vektorpotential für eine singuläre Funktion χχ\chi schreiben als A=∇χA=∇χ\mathbf A = \nabla \chi?
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