Das Magnetfeld eines magnetischen Monopols

Für jede$r>0$, die Divergenz des Magnetfelds des Monopols ist Null, wie Sie bereits überprüft haben;

$$\begin{align} \nabla\cdot\mathbf B(\mathbf x) = 0, \qquad \text{for all $\mathbf x\neq \mathbf 0$}. \end{align}$$

Was aber, wenn wir auch die Divergenz dieses Feldes am Ursprung finden wollen? Schließlich sitzt dort die Punktquelle. Wir könnten erwarten, dass die Divergenz dort in gewissem Sinne ungleich Null sein sollte, um die Tatsache widerzuspiegeln, dass dort eine Punktquelle sitzt. Das Problem ist, dass das Magnetfeld dort singulär ist und die Standarddivergenz dort daher nicht definiert ist.

In der Elektrodynamik umgehen wir dies jedoch, indem wir die Felder nicht nur als Funktionen interpretieren$\mathbf E,\mathbf B:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$, nämlich gewöhnliche Vektorfelder in drei Dimensionen, aber als Verteilungen (auch bekannt als verallgemeinerte Funktionen). Wie sich herausstellt, hat das von Ihnen aufgeschriebene Magnetfeld in gewisser Weise am Ursprung eine Divergenz ungleich Null (tatsächlich ist die Divergenz dort "unendlich"). Ich überlasse es Ihnen, die Details zu untersuchen, aber die Pointe ist, dass Sie etwas benötigen, das als Verteilungsableitung bezeichnet wird , um die Berechnung rigoros durchzuführen. Physiker führen häufig die Verteilungsableitung des Monopolfelds durch "Regulieren" der Singularität am Ursprung durch, aber dies ist nicht notwendig. Welche Methode Sie auch verwenden, das gesuchte Ergebnis ist

$$\begin{align} \nabla\cdot\frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3} = 4\pi\delta^{(3)}(\mathbf x) \end{align}$$ Wo $\delta^{(3)}$bezeichnet die Deltaverteilung in drei euklidischen Dimensionen. Wenn wir dies auf das magnetische Monopolfeld anwenden, sehen wir, dass seine Divergenz einer magnetischen Ladungsdichte entspricht, die wie die Delta-Verteilung aussieht; dies ist genau das Verhalten, das von einem Monopol erwartet wird.

Nachtrag. Da der Benutzer PhysiXxx das Verfahren zum Nachweis der Identität, das ich oben behaupte, unter Verwendung des Regularisierungsverfahrens, auf das ich mich bezog, veröffentlicht hat, kann ich wohl genauso gut zeigen, wie Sie die Identität beweisen, wenn sie im Sinne von Verteilungen interpretiert wird.

Eine Verteilung ist ein lineares Funktional, das auf sogenannte Testfunktionen einwirkt und reelle Zahlen ausgibt. Um eine ausreichend gut erzogene Funktion anzuzeigen$f:\mathbb R^3\to\mathbb R$Als Verteilung müssen wir eine lineare Funktion zuordnen$T_f$dazu. Der übliche Weg, dies zu tun, ist zu definieren

$$\begin{align} T_f[\phi] = \int _{\mathbb R^3} d^3x\, f(\mathbf x) \phi(\mathbf x). \end{align}$$ Die Delta-Verteilung ist an einem Punkt zentriert $\mathbf a\in\mathbb R^3$kann nicht als einer Funktion zugeordnete Verteilung beschrieben werden $f$auf diese Weise wird es stattdessen definiert als $$\begin{align} \delta_{\mathbf a}^{(3)}[\phi] = \phi(\mathbf a) \end{align}$$ Physiker schreiben dies oft als $$\begin{align} \delta_{\mathbf a}^{(3)}[\phi] = \int_{\mathbb R^3}d^3 x\, \delta^{(3)}(\mathbf x - \mathbf a)\phi(\mathbf x) \end{align}$$ als ob es eine Funktion gäbe , die die Deltaverteilung generiert, obwohl dies nicht der Fall ist, da dies die formalen Manipulationen erleichtert. Betrachten Sie nun die Funktion $$\begin{align} h(\mathbf x) = \nabla\cdot\frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^2} \end{align}$$ Ich behaupte, dass, wenn wir den Ausdruck verwenden $T_h$mit dem eine Verteilung verknüpft werden soll $h$, Dann, $T_h = -4\pi \delta_{\mathbf 0}$. Um dies zu beweisen, genügt es, das zu zeigen $T_h[\phi] = -4\pi\phi(\mathbf 0)$für alle Testfunktionen $\phi$. Dazu weisen wir darauf hin $$\begin{align} T_h[\phi] &= \int_{\mathbb R^3} d^3 x\, \left(\nabla\cdot\frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3}\right) \phi(\mathbf x) \\ &= \int_{\mathbb R^3} d^3 x\, \nabla\cdot\left(\frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3} \phi(\mathbf x)\right) - \int_{\mathbb R^3} d^3 x\, \frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3}\cdot \nabla\phi(\mathbf x) \end{align}$$ Das erste Integral verschwindet, weil es nach dem Satz von Stoke (auch bekannt als Divergenzsatz in 3D) ein Grenzterm ist, aber in diesem Fall liegt die Grenze im Unendlichen, und es wird angenommen, dass das Ding, von dem wir die Divergenz nehmen, schnell verschwindet im Unendlichen (dies ist Teil der Definition von Testfunktionen). Für das zweite Integral verwenden wir Kugelkoordinaten. In sphärischen Koordinaten können wir schreiben $$\begin{align} d^3 x = r^2\sin\theta dr\,d\theta\,d\phi, \qquad \frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3} = \frac{\hat{\mathbf r}}{r^2}, \qquad (\nabla\phi)_r = \ \frac{\partial\phi}{\partial r} \end{align}$$ Die Kombination dieser Beobachtungen mit einigen algebraischen Vereinfachungen ergibt das gewünschte Ergebnis: $$\begin{align} T_h[\phi] &= - \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^\pi d\theta\int_0^\infty dr \frac{\partial\phi}{\partial r}(r,\theta,\phi) = -4\pi \phi(\mathbf 0) \end{align}$$

Im letzten Schritt haben wir den Fundamentalsatz der Analysis verwendet, die Tatsache, dass$\phi$verschwindet als$r\to\infty$und die Tatsache, dass wann$r\to 0$, der Mittelwert einer Funktion über der Radiuskugel$r$wird sein Wert am Ursprung, nämlich

$$\begin{align} \lim_{r\to 0} \frac{1}{4\pi}\int_0^{2\phi}d\theta\int_0^\pi d\phi\, \phi(r,\theta, \phi) = \phi(\mathbf 0) \end{align}$$

Die Antwort der Joshpysics ist gut. Ich möchte nur über einige Details berichten.

Lass uns Feld haben

$$\mathbf A = g\frac{\mathbf r}{|\mathbf r|^{3}}. \qquad (.1)$$ Es hat die Singularität bei Null. Wir können es durch Modifikation beseitigen $(.1)$von
$$\mathbf A = g\frac{\mathbf r}{|\mathbf r|^{3}} \to g\frac{\mathbf r}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{3}{2}}}.$$ Dann können wir in jedem Punkt eines Feldes ableiten. Nach der Ableitung können wir setzen $a$bis Null. Zum Beispiel, $$(\nabla \cdot \mathbf A ) = \frac{3g}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{3}{2}}} - \frac{3gr^{2}}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{5}{2}}} = \frac{3ga^{2}}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{5}{2}}} = 4 \pi g \delta_{a}(\mathbf r) = 4 \pi \rho_{a}(\mathbf r),$$ Wo $$\delta_{a}(\mathbf r) = \frac{3}{4 \pi}\frac{a^{2}}{\left( r^{2} + a^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}$$ haben die Eigenschaften von Dirac Delta: wenn $a$auf null setzen, $$\lim_{r \to 0}\delta_{a}(\mathbf r ) = \infty, \quad \lim_{r \to r_{0} \neq 0}\delta_{a}(\mathbf r ) = 0,$$ Und $$\int \limits_{-\infty}^{\infty}\delta_{a}(\mathbf r)d^{3}\mathbf r = 1,$$ was leicht zu verifizieren ist.

Dieser Vorgang wird Regularisierung genannt. Es ist geeignet, das Feld der punktförmigen Ladung zu beschreiben.

Eine weitere interessante Tatsache. Wir können Maxwell-Gleichungen nur unter Verwendung des Coulomb-Gesetzes, des Superpositionsprinzips und der speziellen Relativitätstheorie ableiten (die unter Verwendung einiger einfacher Postulate formuliert werden können (Postulate der homogenen Raumzeit, des isotropen Raums, des Relativitätsprinzips und des Kausalitätsprinzips)).

Der von joshphysics und PhysiXxx gut beschriebene Verteilungsansatz beantwortet Ihre Frage vollständig und zeigt, warum Ihr Beweis nicht funktioniert, aber es gibt eine andere Möglichkeit, mit dem richtigen Teil Ihres Beweises zu argumentieren. Es ist natürlich letztlich mathematisch äquivalent. Berechnen Sie einfach das Flussmittel durch eine Kugelschale$\mathcal{S}$zentriert auf den Ursprung; aus der Symmetrie des Problems erhalten wir:

$$\oint_\mathcal{S} \mathbf{B} \cdot \hat{\mathbf{r}} \, \mathrm{d} S = 4\,\pi\,R^2\,g\frac{R}{R^3}= 4\,\pi\,g$$

Dies ist die magnetische Ladung innerhalb einer Radiushülle$R$. Nun, Ihr Beweis schlägt, wie an anderer Stelle erwähnt, am Ursprung fehl, funktioniert aber überall sonst . Dies sagt Ihnen also nach dem Divergenzsatz, dass es keine Ladung innerhalb einer beliebigen geschlossenen, orientierbaren Oberfläche gibt, die den Ursprung nicht enthält, und auch nach dem Divergenzsatz gilt das obige Ergebnis für jede Oberfläche derselben Homotopieklasse (in Bezug auf$\mathbb{R}^3 \sim {0}$dh euklidischer 3-Raum mit weggenommenem Ursprung) als Kugelschale: anders ausgedrückt: jede Oberfläche, die als kontinuierliche Verformung der Kugel erhalten werden kann$\mathcal{S}$die keinen Teil der Oberfläche durch den Ursprung führt. Daher muss die Ladung vollständig in jeder Kugelschale mit Radius enthalten sein$\epsilon > 0$, egal wie klein$\epsilon$kann sein . In alltäglichen Worten - die Ladung konzentriert sich vollständig auf den Ursprung.