Wie genau wird das Magnetfeld bestimmt, wenn man eine kreisförmige stromdurchflossene Schleife als magnetischen Dipol annimmt?

Ich habe das Gefühl, dass viele dieser Fragen dasselbe stellen, also sagen Sie mir, wenn ich eine falsch interpretiert habe.

1. Ist das magnetische Dipolbild der Annahme einer kreisförmigen Schleife, die einen Strom führt, eine Art "Annäherung"? Oder mit anderen Worten, wird das Feld bestimmt, indem man magnetische Felder aufgrund magnetischer Monopole annimmt, die sich von dem ursprünglichen Feld aufgrund der kreisförmigen Schleife unterscheiden?

Ja. Wie Sie beispielsweise in der Abbildung deutlich sehen können, zeigen die beiden Felder im Inneren nicht einmal in die gleiche Richtung.

Kurz gesagt, wie genau wird das Magnetfeld bestimmt, wenn man eine kreisförmige stromführende Schleife als magnetischen Dipol annimmt?

Je weiter man sich entfernt, desto genauer wird es, denn beide nähern sich dem idealen Dipolfeld,

$$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \left(\frac{3 \hat{\mathbf{r}} (\mathbf{m} \cdot \hat{\mathbf{r}}) - \mathbf{m}}{r^3} \right).$$ Genauer gesagt weichen diese beiden Felder bei großen Entfernungen vom idealen Dipolfeld sowohl in Größe als auch in Richtung um einen Bruchteil ab, der proportional zu ist$\ell/r$, Wo$\ell$ist eine charakteristische Längenskala. Für das Schleifenbild$\ell = \sqrt{A}$. Für das Polbild$\ell = d$.

Wie Sie auf kleiner gehen$r$, die Abweichungen werden viel größer, zB für$r \lesssim \ell$die Felder unterscheiden sich vollständig vom idealen Dipolfeld und voneinander.

2. Verursacht das Polbild nur Variationen in der Richtung oder beinhaltet es auch Unterschiede in der Größe des Feldes?

Ja. Wie Sie beispielsweise der Abbildung entnehmen können, weichen die Größen an den Polen und an der Schleife voneinander ab, und es gibt keine entsprechende Abweichung im anderen Bild.

3. Wo liefert das Polbild ein genaues Ergebnis sowohl für die Größe als auch für die Richtung des Magnetfelds um eine kreisförmige Schleife, die einen Strom führt?

Im Großen und Ganzen$r$.

4. Was sind die Spezifikationen für die Wahl von$m$Und$d$? Aus$md=iA$, das Produkt$md$ist eine Konstante für ein bestimmtes$i$Und$A$, wir sind jedoch frei in der Wahl$m$Und$d$so erfüllt es die Bedingung. So auch ein kleiner Wert von$d$(und großer Wert von$m$) liefern genauere Ergebnisse, oder ist es umgekehrt?

Was genau stimmt, ist das in der Grenze$d \to 0$Und$A \to 0$nähern sich die beiden Felder einander an, weil sie beide gleich werden wie das ideale Dipolfeld.

Wenn$A \neq 0$, es ist nicht klar, welchen Wert$d$erhält ein "genaueres" Ergebnis, da es davon abhängt, wie Sie "Genauigkeit" definieren. Wenn Sie beispielsweise das Feld bei wollten$r = 0$Um so genau wie möglich zu sein, sollten Sie senden$d \to \infty$, denn das bekommt Nullfeld bei$r = 0$. Aber dann würde das das Feld angreifen$r \approx \sqrt{A}$total falsch. Wenn Sie bei einem IIT JEE-Problem gefragt werden, was das "genaueste" Ergebnis ist, ist dies ein vages und undefiniertes Kriterium, und die richtige Antwort ist, was auch immer der Testautor im Moment im Sinn hatte.

Wenn das Ziel darin besteht, das Feld eines endlichen Rings zu berechnen, macht es keinen Sinn, ein Monopolpaar zu verwenden, um es zu approximieren. Der eigentliche Zweck besteht darin zu zeigen, dass sich die Schleife im Grenzfall, wenn sie auf einen Durchmesser von Null schrumpft, dem Feld eines reinen Dipols mit demselben magnetischen Moment annähert. (Siehe diese frühere Stack Exchange-Frage .) Der Wikipedia-Artikel über magnetische Dipole leitet Ausdrücke für die internen Felder in dieser Grenze ab, und es ist interessant, dass Sie sie definieren können$B$,$H$Und$M$so dass$B = \mu_0 (H+M)$. Wir sprechen jedoch über das interne Feld eines Punktdipols, daher gibt es keine praktische Anwendung.

Die praktische Verwendung von fiktiven Monopolen ist die Berechnung des inneren Feldes eines magnetischen Materials, das als Entmagnetisierungsfeld bekannt ist . Die Magnetisierung kann in Form von Stromschleifen ausgedrückt werden, aber die Berechnungen sind viel einfacher, wenn Sie sie in Form von Monopolen ausdrücken. Und sie führen zu genau demselben Ergebnis. Auch in einem Ferromagneten oder einer anderen magnetisch geordneten Substanz ist die Magnetisierung fast ausschließlich auf Elektronenspins zurückzuführen , sodass eine Darstellung durch Ströme nicht realistischer ist als eine mit Monopolen. Aus diesen Gründen verwenden Experten für Magnetismus immer die Monopolnäherung.

In diesen Anwendungen wird eine magnetische Ladungsdichte als proportional zu definiert$\nabla \cdot \mathbf{M}$im Inneren des Magneten und$\mathbf{M}\cdot \mathbf{n}$(die oberflächennormale Komponente der Magnetisierung) an der Oberfläche. Diese ergeben sich natürlich aus der Anwendung der Maxwell-Gleichungen ohne zusätzliche Annahmen; es ist nur eine bestimmte Art, sie zu lösen. Weitere Einzelheiten finden Sie in den Wikipedia-Artikeln zum Entmagnetisierungsfeld (oben verlinkt) und zur Mikromagnetik .