Dieses Vektorpotential ergibt ein magnetisches Monopolfeld, was ist daran falsch?

Ja, Sie haben aufgrund der Singularität Probleme mit diesem Potential. Beachten Sie, dass Sie die Singularität enthalten möchten$r=0$, da Sie von einer Punktladung sprechen (und das elektrische Potential an der Position eines Teilchens singulär ist).

Es gibt noch ein weiteres enormes Problem: Das wissen Sie$\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\times\vec A)=0$, da Sie den Verlauf einer Locke nehmen. Aufgrund dieser Tatsache können Sie keine magnetische Ladung haben: Denken Sie daran, dass für eine Punktladung am Ursprung$\vec \nabla\cdot \vec E=q\delta^3(\vec x)$. Das$\delta^3$Der Faktor erlaubt uns zu sagen, dass wir in jeder Menge, die den Ursprung enthält, eine Gesamtladung haben$q$. Das funktioniert mit dem Magnetfeld nicht, wenn wir naiv integrieren.

Diese beiden Probleme sind durch die Einführung des Konzepts von Faserbündeln lösbar. Ich werde versuchen, sie nicht zu verwenden, aber für die Zukunft wissen Sie, dass die moderne Eichtheorie um das Konzept von Faserbündeln herum formuliert ist, mit denen Sie Dinge wie magnetische Monopole korrekt beschreiben können.

Ich werde mich bei der Beantwortung auf die topologischen Solitonen von Manton und Sutcliffe beziehen. In Kapitel 8 diskutieren sie magnetische Monopole.

Lassen Sie uns Ihr Potenzial prüfen. Ich nehme an, dass Ihre Azimutkoordinate$\theta$geht von$0$Zu$\pi$, wie es für Ihr Arbeitspotential der Fall sein sollte. Sie können zwischen zwei Potenzialen wählen:

$$\vec A_+=\frac{g}{4\pi r}\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\hat \phi,\quad\vec A_-=\frac{g}{4\pi r}\frac{-1-\cos\theta}{\sin\theta}\hat \phi.$$ Sie können überprüfen, ob beide Potentiale vorhanden sind $\vec B$als curl, wann immer $r\neq 0$, $\theta\neq 0$Und $\theta\neq\pi$. Das zusätzliche $4\pi$Faktor ist nur eine Neudefinition von $g$, das ist praktisch, da es den Fluss des Magnetfelds gleich der magnetischen Ladung macht, ohne Proportionalitätskonstante. Welche Potenziale werden wir nutzen? Die Antwort ist "beides". Beachten Sie, dass das erste Potential nichtsingulär ist $\theta=0$(Nordpol, für die Bestimmtheit), während der zweite nicht singulär ist $\theta=\pi$(Grenzwert ausführen: er existiert und ist 0, so dass Sie die Definition kontinuierlich erweitern können).

Angenommen, Sie möchten das Magnetfeld in einem bestimmten Abstand vom Monopol finden,$R$. In der modernen Sprache suchen Sie nach dem Magnetfeld auf einer 2-Kugel mit Radius$R$, dass ich anrufen werde$S^2_R$, unter der Randbedingung, dass der Fluss dieses Magnetfeldes über das Ganze$S^2_R$Die Grenze von sollte gleich der magnetischen Ladung sein:

$$\int_{S^2_R}\vec B\cdot d\vec S=g,$$ Wo $\vec S$ist der Vektor, der von der Kugel nach außen zeigt.

Die entscheidende Tatsache ist, dass die Kugel$S^2_R$kann nicht durch einen einfachen Satz von Koordinaten beschrieben werden$(\theta,\phi)$, ohne einen der Pole auszuschließen. In der Sprache der Differentialgeometrie haben Sie das$S^2_R$ist keine triviale Mannigfaltigkeit, und Sie benötigen mindestens zwei Koordinatensysteme, um die gesamte Kugel abzudecken. Lassen$\theta_N$Und$\theta_S$Winkel sein wie z$0<\theta_S<\theta_N<\pi$: Sie können ein Koordinatensystem verwenden$(\theta_+,\phi_+)$Wo$0\leq\theta_+<\theta_N$und ein anderes Koordinatensystem$(\theta_-,\phi_-)$, Wo$\theta_S<\theta_-\leq\pi$. Nun, aufgrund der Tatsache, dass$\theta_S<\theta_N$, haben Sie, dass diese beiden Koordinatensysteme die gesamte Kugel abdecken, in dem Sinne, dass jeder Punkt durch mindestens einen dieser Koordinatensätze beschrieben wird. Wenn es von beiden Mengen beschrieben wird (wie es für alle Punkte im Streifen der Fall ist$\theta_S<\theta<\theta_N$Sie müssen eine Übergangsfunktion haben, die eine Koordinate in einem Satz mit einer Koordinate in einem anderen verknüpft (in diesem Fall müssen Sie nur dasselbe nehmen$\theta$, aber kompliziertere Entscheidungen sind möglich).

Eine Eichtheorie über der Kugel ist (wirklich salopp gesprochen) eine Zuordnung eines Eichfeldes$\vec A$auf jedem Fleck der Kugel. Nun, das können wir sagen$\vec A_+$beschreibt das Potenzial in der$(\theta_+,\phi_+)$System, also erstreckt es sich bis zum Nordpol (wo es nichtsingulär ist). Wir weisen das Potenzial zu$\vec A_-$zum Südpol (wo es nichtsingulär ist). Was können wir nun über die Überlappungszeichenfolge sagen? Sie können das auf dem Streifen überprüfen

$$\vec A_-=\vec A_+-\vec\nabla\left(\frac{g}{2\pi}\phi\right).$$ Ich muss nicht angeben $\phi_1$oder $\phi_2$, da die Übergangskarte die Identität ist. Dies ist genau eine Messgerättransformation! Da die Felder durch eine Eichtransformation in Beziehung stehen, kann man sagen, dass sie dasselbe physikalische Feld beschreiben.

Wie löst diese Konstruktion das Problem der magnetischen Ladung? Oder funktioniert die Flussbedingung hier? Eine strenge (und schnelle) Erklärung würde Integrationsbegriffe in der Differentialgeometrie erfordern, also werde ich mit einer intuitiven Antwort gehen. Wenn du nimmst$\theta_N$Und$\theta_S$wie der Äquator$\theta=\frac\pi2$im Überlappungsbereich liegt, können Sie das Integral teilen als

$$\int_{S^2_R}\vec B\cdot d\vec S=\int_{NP}\vec\nabla\times\vec A_+\cdot d\vec S+\int_{SP}\vec\nabla\times\vec A_-\cdot d\vec S.$$ Hier, $NP$bedeutet $\theta<\frac{\pi}{2}$Und $SP$bedeutet $\theta>\frac{\pi}{2}$. Beachten Sie, dass der Äquator nicht dazugehört $NP$oder $SP$, aber es ist eine Linie und Integrale wohldefinierter Funktionen über dieser Linie sind $0$. Der Äquator ist eine Grenze sowohl für den Nordpol als auch für den Südpol, daher können wir den Satz von Stokes verwenden: Es ist dann sofort zu überzeugen, dass das vorherige Integral gleich zwei Linienintegralen auf dem Äquator ist, einmal im Uhrzeigersinn und das andere Mal gegen den Uhrzeigersinn genommen: $$\int_{S^2_R}\vec B\cdot d\vec S=\int_{equator}\vec A_{1}\cdot d\vec l-\int_{equator} \vec A_2\cdot d\vec l=2\pi R\left(\frac{g}{4\pi R}+\frac{g}{4\pi R}\right)=g.$$ Beachten Sie, dass dies nicht der richtige Weg ist, um fortzufahren. Nehmen Sie es nur für die Intuition.

Zusammenfassend sind magnetische Monopole theoretisch möglich, und ein Potential für einen magnetischen Monopol kann geschrieben werden. Aber Sie müssen die Begriffe von Koordinatendiagrammen verwenden, um das Potential ohne Mehrdeutigkeit zu definieren, und ein Analogon zum Gaußschen Gesetz für Magnetismus erhalten. Ihr Potenzial ist Teil der Lösung. Wenn Sie sich wirklich für Eichtheorien interessieren, müssen Sie viel Differentialgeometrie und die Grundlagen von Faserbündeln lernen, um die lustigeren Dinge mit Eichfeldern machen zu können.