Was sind die philosophischen Konsequenzen der Unentscheidbarkeit der spektralen Lücke in der Quantentheorie?

Das Ergebnis bedeutet im Wesentlichen, dass es in bestimmten Spielzeugmodellen keinen Algorithmus geben kann, der einige makroskopische Eigenschaften (spektrale Lücke) aus mikroskopischen Parametern der Modelle ableitet. Die wichtigste Bedeutung besteht darin, dass wir einen Gödel-Satz erhalten, der im Gegensatz zum Original eine explizite mathematische Bedeutung hat. Seien wir großzügig und gehen davon aus, dass sich die Situation auf realistischere Theorien der Materie erstreckt. Was sind die philosophischen Konsequenzen für den Reduktionismus?

Erstens ist die Existenz unentscheidbarer Sätze eine Eigenschaft einer Theorie, nicht eine Eigenschaft der Realität, die sie beschreibt, also sprechen wir nicht von ontologischem Reduktionismus, sondern von Theoriereduktionismus. Zweitens meinen die Autoren "unentscheidbar" in zwei verschiedenen Bedeutungen, ein Ergebnis besagt, dass es keinen Algorithmus zum Auffinden der spektralen Lücke in einer Klasse von Modellen gibt, das andere Ergebnis besagt, dass in einigen "künstlichen" Modellen die Existenz der Lücke auch nicht beweisbar ist auch nicht widerlegbar. Ersteres ist nicht gerade überraschend, die Ableitung makroskopischer Eigenschaften von Modellen ist selbst in der klassischen statistischen Mechanik höchst nicht trivial, obwohl dies möglicherweise der erste explizite Beweis dafür ist. Letzteres ist interessanter, aber Unentscheidbarkeit ist immer relativ. Der Gödelsatz der Arithmetik ist in der Standardmengentheorie (ZFC) beweisbar,

Und am Ende ist der Unterschied zwischen den beiden Sinnen ein technischer, beide bedeuten, dass die theoretische Analyse von Modellen nicht-triviale Einsichten erfordert, sei es die Verwendung bestehender Denkweisen auf nicht-triviale Weise oder die Entdeckung neuer. Aber das war historisch schon immer so, auch in der Arithmetik, Beweise interessanter zahlentheoretischer Ergebnisse, auch entscheidbarer, wurden nicht von einem Algorithmus gefunden. Matiyasevich hat sogar in den 1970er Jahren bewiesen, dass es keinen Algorithmus geben kann, um die Lösbarkeit diophantischer Gleichungen zu bestimmen. Dies bedeutet nicht, dass bestimmte diophantische Gleichungen nicht gelöst oder als unlösbar erwiesen werden können. Wiles hat letzteres kürzlich für Fermat-Gleichungen gemacht, und wir wissen immer noch nicht, ob Arithmetik allein für seinen Beweis ausreicht. Cubitt, einer der Autoren, sagt so viel: „Es ist möglich, dass bestimmte Fälle eines Problems lösbar sind, selbst wenn das allgemeine Problem unentscheidbar ist, sodass vielleicht doch jemand den begehrten Preis von 1 Million US-Dollar gewinnen kann .

Mathematiker haben eine Vorstellung von einem "wilden" Klassifikationsproblem , bei dem die Klassifikation bestimmter theoretischer Objekte im Prinzip unlösbar ist. Das Klassifizierungsproblem für Paare gewöhnlicher Matrizen ist bereits wild, es gibt keine überblickenden "jordanischen kanonischen Formen" für Paare. Cubitt impliziert, dass die Quelle der Unentscheidbarkeit in ihrem Fall ein weiteres wildes Problem ist: „ Der Grund, warum dieses Problem im Allgemeinen nicht gelöst werden kann, liegt darin, dass Modelle auf dieser Ebene ein extrem bizarres Verhalten zeigen, das im Wesentlichen jeden Versuch, sie zu analysieren, zunichte macht". Wenn also der theoretische Reduktionismus bedeuten sollte, dass man einen Algorithmus erhalten kann, um Eigenschaften auf hoher Ebene abgeleiteter Objekte aus Axiomen für grundlegende zu finden, dann war der Reduktionismus für eine Weile dem Untergang geweiht. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es keine Konsequenzen für den ontologischen Reduktionismus gibt, und Für den theoretischen Reduktionismus bestätigt das Papier, was wir immer vermutet haben: Die Reduzierung der High-Level-Theorie auf eine Low-Level-Theorie ist eine nicht triviale Angelegenheit.

BEARBEITEN: Ich habe bei Math Overflow eine Frage zur technischen Seite des Ergebnisses gestellt. Das Papier war ein Jahr lang auf arxiv und wird von Experten gut verstanden. Die Unentscheidbarkeit darin ist typisch, der Beweis basiert auf der Unentscheidbarkeit des Halteproblems für Turingmaschinen und ist analog zu Matiyasevichs Beweis für diophantische Gleichungen. Das bedeutet, dass wir in der Physik nicht eher auf unentscheidbare Hamiltonoperatoren stoßen als auf Gödelsätze in der Zahlentheorie. Insbesondere bleibt der Status des Jahrtausendproblems der spektralen Lücke für den Yang-Mills-Hamilton-Operator unberührt.

Wenn sich herausstellt, dass ein Modell unentscheidbar ist, werden die Leute wissen, dass sie Modelle dieser Art vermeiden sollten. Es bleibt abzuwarten, wie groß die Klasse solcher Modelle ist (die längere Version des Papiers im arxiv umfasst über 150 Seiten). Aber es wäre verfrüht, den Tod des Reduktionismus anzukündigen, nur weil Fälle konstruiert wurden, die Gödels Befund veranschaulichen.

Es scheint ein weiterer Beweis dafür zu sein, dass der Indeterminismus in gewisser Weise eine grundlegende Rolle in der Physik spielt.

Wenn dem so ist, dann muss die Erklärungslast sicherlich darauf fallen, zu sagen, warum das so ist.

Das Grundrätsel in QM ist schließlich, dass der Vorgang der Messung indeterministisch ist und aufgrund der Bellschen Ungleichungen nicht stochastisch (dh abhängig von „verborgenen Variablen“); In gewissem Sinne fügt dieses Ergebnis also nichts Neues hinzu, sondern bestätigt lediglich dieses grundlegende Ergebnis.