Als Gymnasiallehrer für Physik mag ich es, alle Konzepte und Terminologie damit zu motivieren, wie sie ursprünglich historisch entwickelt wurden. Kürzlich habe ich einige Nachforschungen über die Motivation hinter der Einführung des Konzepts des Gravitationspotentials angestellt, aber ich konnte keine klare Geschichte über die Geschichte davon finden. Warum hatten die Menschen das Bedürfnis, dies zu definieren? Ich kann die Argumentation für die Definition eines Gravitationsfeldes verstehen, aber ich verstehe nicht die Notwendigkeit, Gravitationspotential einzuführen. Alle Erklärungen auf High-School-Physik-Niveau wären willkommen.
Die Potenzialtheorie hat von der Konzeption bis zum gegenwärtigen Stand eine über ein Jahrhundert lange Geschichte, daher ist das Folgende eine kurze Zusammenfassung und kann Fehler aufgrund der Summierung enthalten (neben den Fehlern, die natürlich auf meine Unwissenheit zurückzuführen sind).
I- Die mathematische Theorie der Potentiale (Infos von M. Kline, Mathematisches Denken von der Antike bis zur Neuzeit, Bd. 2)
Die früheste Verwendung von Potentialen, einschließlich des Namens, stammt von Daniel Bernoullis Hydrodinamica (1738). Bernoulli führte das Konzept ein, indem er feststellte, dass man in den Bewegungsgleichungen einer Flüssigkeit die Kräfte durch Differentiation einer Skalarfunktion erhalten könnte.
Anschließend wurde das Konzept von Euler, Lagrange, Laplace und Legendre (und anderen) für das Studium der Gravitationsfelder von Rotationskörpern übernommen. Die Idee war, dass es einfach war, die von einer Kugel erzeugte Gravitationskraft zu berechnen (wie es von Newton getan wurde), aber nur mit geometrischen Argumenten war es für Ellipsoide schwierig. Also führten sie das Potential als mathematisches Werkzeug ein, um zunächst das Potential und daraus die Kraft verschiedener Rotationskörper zu berechnen. Dies wurde durch die Erforschung der Form der Erde angeregt, da Newton vorgeschlagen hatte, dass die Figur ein abgeflachtes Sphäroid sein sollte, dies aber nicht bewies.
Danach wurde das Konzept Anfang des 19. Jahrhunderts von Green und Gauss entwickelt. Beide erweiterten nun die Theorie, um elektrische Probleme anzugehen. Ich lasse (leider) viele andere Namen der Kürze halber weg, aber das Wesentliche ist, dass Mathematiker von der Mitte des 18. bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts das Potential als Hilfsmittel zur Berechnung der Kräfte für komplexere geometrische Figuren einführten.
II- Die physikalische Theorie der Potentiale (Informationen von Silvanus P. Thompson, Elementary Lessons in Electricity and Magnetism (1884))
Der Energieerhaltungssatz wurde erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts von Helmholtz, Thomson, Joules und Mayer aufgestellt. Davor war die Energieerhaltung bekannt, wurde aber individuell für die jeweiligen Systeme festgestellt, erst danach galt die Umsetzbarkeit aller Formen mechanischer und thermischer Energie als selbstverständlich. Silvanus merkt nämlich an, dass es beim Schreiben seines Buches immer noch umstritten ist, ob elektrische Energie überhaupt gespart wird.
Ich erwähne dies, weil er in Silvanus‘ Buch dem elektrostatischen Potential ein Kapitel widmet, das er definiert als „Das Potential an jedem Punkt ist die Arbeit, die auf eine Einheit positiver Elektrizität aufgewendet werden muss, um sie von einem Unendlichen zu diesem Punkt zu bringen Distanz". In einer Fußnote auf Seite 193 schreibt „In seiner weitesten Bedeutung muss der Begriff „Potenzial“ verstanden werden als „Macht, Arbeit zu verrichten“. des Pfunds kann wiederum fünf Fuß-Pfund Arbeit leisten, wenn es zurück auf den Boden fällt. Siehe die Lektion über Energie in Professor Balfour Stewarts Lessons in Elementary Physics.
Nun, Silvanus' Buch ist kein Geschichtswerk, sondern ein frühes und einflussreiches Lehrbuch über Elektrizität, aber dennoch lässt es uns den Schluss zu, dass das Gravitationspotential, ursprünglich als Berechnungsinstrument eingeführt, bereits Ende des 19. Jahrhunderts existierte gelehrt in Begriffen der "Macht, Arbeit zu tun". Dies liegt vermutlich an dem Wunsch, physische Diskussionen in Bezug auf Arbeit/Energieeinsparung anzubieten, sowie an der Fruchtbarkeit abgeleiteter Begriffe wie Äquipotentiallinien, die einige Diskussionen vereinfachen könnten.
BEARBEITEN: Ich habe die beste Quelle für die Geschichte der Mechanik, R. Dugas "A History of Mechanics", völlig vergessen. Das Buch hat kein Stichwortverzeichnis, aber beim Lesen des Inhaltsverzeichnisses und der Erinnerung daran, es in der Vergangenheit gelesen zu haben, erscheint die erste Erwähnung von Potential im Allgemeinen in Kapitel 10 Teil 1 mit dem treffenden Titel "Helmholtz und die energetische These". ".
Laut Dugas führte Helmholtz die potenzielle Energie für eine zentrale Kraft (ob anziehend oder abstoßend) in einem Artikel mit dem Titel On the Conservation of Force (1847) ein, obwohl der Name Helmholtz Rankine zuschreibt. Helmholtz sagt in dem Artikel, dass der Vorteil der Einführung des Potentials darin besteht, dass die gesamte Mechanik auf eine einzige "fast populäre Regel" reduziert wird, nämlich dass bei jeder Bewegung eines Körpers, der mit einem anderen interagiert, ein Verlust an potentieller Energie proportional zum Gewinn erfolgt kinetische Energie (und folglich Geschwindigkeit). Eine der Hauptmotivationen von Helmholtz scheint also die Vereinfachung mechanischer Diskussionen zu sein, anstatt Newtons Gesetze und Vektoralgebra zu haben, könnte man alles mit einem einzigen Axiom machen.
Helmholtz merkt auch an, dass ein weiterer Vorteil darin besteht, dass sich das Potenzial direkt auf feste Körper und perfekt elastische Flüssigkeiten erstreckt. Die Idee hier ist, dass die Newtonsche Behandlung für ausgedehnte Körper, Festkörper aus Flüssigkeiten, erfordert, dass Sie die Kräfte an jedem unendlich kleinen Teil des Körpers analysieren und dann alles integrieren, um herauszufinden, was die Bewegung ist, aber mit Potenzial können Sie dies vermeiden. Ein Beispiel wäre das Bernoulli-Prinzip, das trivial ist, wenn man von einem potentiellen vs. kinetischen Standpunkt aus denkt, aber mit Kräften sehr schwer zu beweisen wäre.
III - Fazit (und Entschuldigung)
Ich denke, es ist klar und erwiesen, dass das Gravitationspotential zuerst als mathematisches Werkzeug eingeführt wurde. Ich werde Klines Weglassen der physikalischen Interpretation als Zeichen dafür nehmen, dass die physikalische Interpretation anfangs nicht betont wurde (ich tue dies, weil Kline ein sehr gründlicher Gefährte ist, und andere Bücher über Geschichte der Mathematik, wie das von Howard Eve, der an einigen Stellen mehr mit Physik zu tun hat , kommentiere das auch nicht). Irgendwann im späten 19. Jahrhundert haben wir Aufzeichnungen von Menschen, die die physikalische Interpretation von „Macht, Arbeit zu tun“ verwendeten. Dies scheint unter dem Einfluss des Energieerhaltungsprinzips zu stehen, so dass mechanische Diskussionen, die sich zunächst auf die Analyse von Kräften konzentrierten, einer Fokussierung auf die Analyse von Bewegung in Bezug auf potenzielle Linien und Arbeit in Anlehnung an Helmholtz Platz machten.Eine wilde Spekulation wäre, dass wir heutzutage das Gravitationspotential früh in der High School einführen, weniger wegen seines tatsächlichen Wertes, sondern mehr als Parallele, um den Schülern zu helfen, das elektrische Potential besser zu verstehen, das viel mehr verwendet wird.
In Bezug auf High-School-Erklärungen würde ich aus physikalischer Sicht die Möglichkeit betonen, Potenziale zu verwenden, um zu vermeiden, dass eine Vektoranalyse über Newtons Gesetze durchgeführt werden muss. Zum Beispiel sollte es viel einfacher zu zeigen sein, dass das Gravitationspotential auf diese Weise stabile Kreisbahnen erlaubt. Auch zur Diskussion der Strömungsmechanik.
Da das Potential zunächst als Rechenwerkzeug auftauchte, Ihre Schüler aber keine Analysis kennen, könnten Sie ihnen mit einem analogen Modell mit der Elektrostatik einen Vorgeschmack geben. Angenommen, Sie möchten die Gravitationskräfte herausfinden, die von einem nicht kugelförmigen Objekt wie einem abgeflachten Sphäroid erzeugt werden. Da das Gravitationspotential genauso funktioniert wie das elektrische Potential, könnte man ein Objekt der gewünschten Form zusammenbauen und elektrisch aufladen. Dann würden Sie ein Voltmeter verwenden, um das Potential über der Oberfläche des Objekts zu messen, und voila, Sie wüssten die relative Verteilung des Gravitationspotentials und damit der Kraft, die von einer beliebigen Form ausgeübt wird, ohne rechnen zu müssen.
Ich betone, dass keine der Quellen irgendetwas davon behauptet. Ich habe die von ihnen bereitgestellten Fakten genommen und eine Theorie bezüglich der Motivation für die Nutzung des Gravitationspotentials, wie es in der modernen High School praktiziert wird, anhand von zwei Annahmen konstruiert, dass frühe Mathematiker sich nicht mit der physikalischen Interpretation beschäftigt haben, und so weiter Spätere Physiker betonten diese Interpretation im Lichte der Energieerhaltung. Ich entschuldige mich dafür, dass ich dies getan habe, was diese Antwort abwertet, da sie sich auf die Geschichte der Dinge bezieht, aber ich hoffe, es hilft bei Ihrem Hauptanliegen oder als Ausgangspunkt für eine tatsächliche Antwort mit Quellenangabe.
Als Student im Grundstudium, der die Geschichte der Idee des Potenzials in den letzten Jahren erforscht hat, kann ich Ihnen versichern, dass es viel komplexer und faszinierender ist, als es auf den ersten Blick scheint. Da Sie nicht viel Zeit haben werden, es im Unterricht zu diskutieren, werde ich hier eine EXTREM grundlegende Zusammenfassung einfügen.
Die Idee des Potenzials wurde allmählich aus einer Reihe anderer Ideen konstruiert, deren Wurzeln in der einen oder anderen Form mindestens bis ins 18. Jahrhundert zurückreichen. Diese Ideen wurden mehr oder weniger unabhängig voneinander entwickelt, um das Studium mehrerer Themen zu unterstützen, insbesondere der Strömungsmechanik, der Gravitation und der Mathematik der Funktionen mehrerer Variablen. Wie Mozibur Ullah sagte, sind Skalarfunktionen in der Regel viel einfacher zu handhaben als Vektorfunktionen und könnten verwendet werden, um Phänomene zu untersuchen, die Methoden, die auf der Ermittlung von Kräften und anderen Richtungsgrößen basieren, nicht gut bewältigen können, wie z. B. das notorisch schwierige Drei-Körper-Problem , die seit mindestens 1777, als Lagrange eine Arbeit zu diesem Thema veröffentlichte, mit potentialähnlichen Funktionen in Angriff genommen wurde.
Allmählich erkannten die Forscher, dass es auf die Untersuchung von noch mehr Themen angewendet werden könnte, insbesondere Elektrizität, Thermodynamik, Wahrscheinlichkeit usw. Oft waren die in einem Bereich verwendeten Gleichungen die gleichen wie die anderen, nur die Bedeutung der Variablen änderte sich . Dadurch konnten Ergebnisse und Methoden aus mehreren Bereichen in scheinbar zusammenhangslosen anderen verwendet werden. Zum Beispiel könnte ein triviales Theorem im Elektromagnetismus helfen, ein nicht triviales Phänomen in der Thermodynamik (korrekt) vorherzusagen.
Die multidisziplinäre Nützlichkeit der Idee des Potentials geriet nach dem Ende des 19. Jahrhunderts im Grunde in Vergessenheit, zum großen Teil wegen der Erfindung der Vektoralgebra, die viele Berechnungen im klassischen Elektromagnetismus, dem Hauptgebiet, in dem Potentiale verwendet wurden, viel einfacher machte nicht nur zu tun, sondern auch in Bezug auf reale Phänomene zu interpretieren. Potentiale erwiesen sich jedoch beim Studium der Speziellen Relativitätstheorie und insbesondere nach der Arbeit von Aharonov und Bohm in der Quantenmechanik als SEHR nützlich. Die Menschen beginnen gerade erst zu erkennen, wie wichtig sie in Zukunft sein könnten.
Wenn Sie Schüler haben, die ein anständiges Maß an Analysis haben, können Sie ihnen empfehlen, einen Artikel von Gauß zu lesen, den ich unten verlinke. Hier verwendet Gauß den Begriff „Potenzial“ als Substantiv, um sich auf potenzielle Funktionen zu beziehen.
Einige meiner Quellen:
https://archive.org/details/generalpropositi00gaus
Grattan-Guinness, I. 1995 Why Did George Green Write His Essay of 1828 on Electricity and Magnetism?, The American Mathematical Monthly, 102:5, 387-396,
Cross J. (1983) Eulers Beiträge zur Potentialtheorie 1730–1755. In: Leonhard Euler 1707–1783. Birkhäuser Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-9350-3_16
Walter S. (2007) Aufbrechen der 4-Vektoren: Die vierdimensionale Bewegung in der Gravitation, 1905–1910. In: Janssen M., Norton JD, Renn J., Sauer T., Stachel J. (Hrsg.) The Genesis of General Relativity. Boston Studies in the Philosophy of Science, Bd. 250. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-1-4020-4000-9_18
WHITTAKER, Edmund Taylor. Eine Geschichte der Theorien des Äthers und der Elektrizität vom Zeitalter Descartes bis zum Ende des 19. Jahrhunderts. Ney York Humanities Press, 1973
Während Vektoren großartig sind, sind Skalare einfacher. Das Gravitationspotential ist eher ein Skalar als ein Vektorfeld, und dies half bei der Manipulation von Ausdrücken, die sie betreffen.
Während Potenziale als wertvolle nathematische Neuformulierung angesehen wurden, neigten Physiker dazu, sie nicht als direkt von physikalischer Relevanz zu betrachten, und wurden als bloßes mathematisches Kunststück angesehen.
Dies war der Fall, bis der Ahronov-Bohm-Effekt erstmals 1959 in einem Artikel von Ahronov & Bohm vorgeschlagen wurde. Tatsächlich war der Effekt, wie sie später zuschrieben, bereits ein Jahrzehnt zuvor von Ehrenburg & Siday im Jahr 1949 vorgeschlagen worden. Dieser Effekt zeigt, dass a Das elektromagnetische Potential hat einen sichtbaren physikalischen Effekt auf die Quantenphase und dies wurde jetzt experimentell verifiziert. Die erste behauptete Überprüfung wurde 1960 von Chambers durchgeführt, dies wurde jedoch bestritten. Die erste eindeutige Bestätigung kam 1986 von Tonamura et al.
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