Die Antwort von Jonas zeigt einen Weg, bei dem komplexe Zahlen nützlich sind, um sinusförmig variierende Größen mit der Zeit darzustellen. Die Quantität$e^{i\,(\omega\,t + \delta)}$wenn es ersetzt wird$\cos(\omega\,t+\delta)$in einer linearen Gleichung (bzw$\sin(\omega\,t+\delta)$wenn man in Jonas' Worten "den Imaginärteil bevorzugt") wird Phasor genannt . Die Phasor-Methode wird in der gesamten Physik weit verbreitet angewendet, nicht nur bei elektrischen Feldern.

Im speziellen Fall der Maxwell-Gleichungen gibt es jedoch eine radikal andere Möglichkeit, komplexe Äquivalente des elektromagnetischen Felds einzubringen, die eine saubere Interpretation in Bezug auf die Polarisation haben. In der Praxis wird es am Ende ähnlich wie die Phasor-Methode verwendet, obwohl es eine ganz andere Grundlage hat.

Dies ist die Idee, die Maxwell-Curl-Gleichungen (Faraday- und Ampère-Gesetze) mit den Riemann-Silberstein-Feldern zu diagonalisieren, die sind:

$$\vec{F}_\pm = \sqrt{\epsilon_0} \,\vec{E} \pm i\,\sqrt{\mu_0} \,\vec{H}\quad\quad\tag 1$$

und die die Maxwell-Curl-Gleichungen in die folgende Form entkoppeln:

$$i\, \partial_t \vec{F}_\pm = \pm c\,\nabla \wedge \vec{F}_\pm\quad\quad\tag2$$

Beachten Sie, dass wir erhalten, wenn wir die Divergenz beider Seiten von (2) nehmen$i\, \partial_t \vec{F}_\pm =0$, so dass, wenn die Felder zeitvariabel sind und keine DC-Komponente (Nullfrequenz) haben ( dh $\partial_t$ist invertierbar), (2) impliziert auch die Gaußschen Gesetze$\nabla\cdot\vec{F}_\pm=0$zu.

Jetzt könnte man einfach mit echten elektrischen und magnetischen Feldern sitzen und man bräuchte nur einen komplexen Riemann-Silberstein-Vektor (entweder von$\vec{F}_\pm$tut es genauso gut wie die andere), anstelle von zwei reellen Körpern zu stehen und dann werden die reellwertigen Curl-Gleichungen durch eine komplexwertige ersetzt. Man würde also den Realteil als Körper interpretieren$\sqrt{\epsilon_0} \,\vec{E}$und der Imaginärteil als$\pm\sqrt{\mu_0} \,\vec{H}$(je nachdem ob$\vec{F}_\pm$verwendet wurden) am Ende der Berechnung.

Physikalisch sinnvoller erweist es sich jedoch, beide Vektoren beizubehalten, aber ihre negativen Frequenzanteile wegzuwerfen und nur die positiven Frequenzanteile beider Vektoren zu behalten. Das wirklich Schöne an diesem zweiten Ansatz ist, dass das Licht nur richtig zirkular polarisiert ist$\vec{F}_+$ist ungleich Null; wenn links, nur$\vec{F}_-$ist ungleich Null. Die positiven Frequenzanteile der elektromagnetischen Felder werden also präzise entkoppelt, indem sie in links- und rechtszirkular polarisierte Anteile aufgespalten werden .

Um nun den negativen Frequenzteil eines Feldes allein aus dem positiven Frequenzteil wiederherzustellen, fügt man das komplexe Konjugierte hinzu, dh wir nehmen effektiv immer noch den Realteil von$\vec{F}_\pm$Felder am Ende der Berechnung, daher sind die praktischen Aspekte eher wie bei der Phasor-Methode. Aber jetzt nehmen wir:

$$\begin{array}{lcl} \vec{E} &=&\operatorname{Re}\left(\frac{\vec{F}_+ + \vec{F}_-}{2\,\epsilon_0}\right)\\ \vec{H} &=&\operatorname{Re}\left(\frac{\vec{F}_+ - \vec{F}_-}{2\,i\,\,\mu_0}\right)=\operatorname{Im}\left(\frac{\vec{F}_+ - \vec{F}_-}{2\,\mu_0}\right) \end{array} \tag 3$$

um unsere "physikalischen" Felder am Ende der Berechnung zu erhalten. Aber angesichts der physikalischen, offensichtlich Lorentz-kovarianten Interpretation der Riemann-Silberstein-Vektoren, über die ich unten spreche (siehe "Fortgeschritteneres Material" unten), könnte man das genauso gut sagen$\vec{F}_\pm$sind die physikalischen Felder (auch wenn sie nicht das sind, was Sie mit einem Vektorvoltmeter oder Magnetometer messen würden). In diesem Gedankenrahmen hat die Tatsache, ob eine Größe real oder imaginär ist, eine geometrische Bedeutung, ob sie ein Bivektor oder ein Hodge-Dual davon in der Clifford-Algebra ist$C\ell_3(\mathbb{R})$wobei der jetzt "spinor"$\mathbf{F}_\pm$leben und die Entität$i$ist nun die pseudoskalare Einheit in dieser Algebra. Bivektoren und ihre Hodge-Duale mischen und transformieren sich unter der Lorentz-Transformation (8) unterschiedlich, sodass Sie diesen Unterschied, wenn Sie möchten, sehr wohl als Bedeutung von Real- und Imaginärteil auffassen können.

Da schließlich (2) nun auf zwei Gleichungen in positiver Frequenz (also positiver Energie) beschränkt ist, können wir nun (2) als Zeitentwicklung interpretieren, dh Schrödinger-Gleichung für den Quantenzustand eines ersten quantisierten Photons. Sehen:

• I. Bialynicki-Birula, "Photon wave function" in Progress in Optics 36 V (1996), S. 245-294, auch herunterladbar von arXiv:quant-ph/0508202 *

für mehr Details.

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Fortgeschritteneres Material

Die Riemann-Silbertein-Vektoren sind eigentlich der elektromagnetische (Maxwell-)Tensor$F^{\mu\nu}$verkleidet. Wir können die Maxwell-Gleichungen in einer Quaternion-Form schreiben:

$$\begin{array}{lcl} \left(c^{-1}\partial_t + \sigma_1 \partial_x + \sigma_2 \partial_y + \sigma_3 \partial_z\right) \,\mathbf{F}_+ &=& {\bf 0}\\ \left(c^{-1}\partial_t - \sigma_1 \partial_x - \sigma_2 \partial_y - \sigma_3 \partial_z\right) \,\mathbf{F}_- &=& {\bf 0}\end{array}\tag 4$$

wo$\sigma_j$sind die Pauli-Spinmatrizen und die elektromagnetischen Feldkomponenten sind:

$$\begin{array}{lcl}\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0}}\mathbf{F}_\pm &=& \left(\begin{array}{cc}E_z & E_x - i E_y\\E_x + i E_y & -E_z\end{array}\right) \pm i \,c\,\left(\begin{array}{cc}B_z & B_x - i B_y\\B_x + i B_y & -B_z\end{array}\right)\\ & =& E_x \sigma_1 + E_y \sigma_2+E_z\sigma_3 + i\,c\,\left(B_x \sigma_1 + B_y \sigma_2+B_z\sigma_3\right)\end{array}\tag 5$$

Die Pauli-Spin-Matrizen sind einfach Hamiltons imaginäre Quaternion-Einheiten, neu geordnet und wo$i=\sigma_1\,\sigma_2\,\sigma_3$damit$i^2 = -1$. Wenn Trägheitsreferenzrahmen durch eine geeignete Lorentz-Transformation verschoben werden:

$$L = \exp\left(\frac{1}{2}W\right)\tag 6$$

wo:

$$W = \left(\eta^1 + i\theta \chi^1\right) \sigma_1 + \left(\eta^2 + i\theta \chi^2\right) \sigma_2 + \left(\eta^3 + i\theta \chi^3\right) \sigma_3\tag7$$

codiert den Rotationswinkel der Transformation$\theta$, die Richtungskosinus von$\chi^j$seiner Rotationsachsen und seiner Schnelligkeiten$\eta^j$, die Entitäten$\mathbf{F}_\pm$die Spinorkarte durchlaufen:

$${\bf F} \mapsto L {\bf F} L^\dagger\tag 8$$

Hier haben wir es tatsächlich mit der Doppeldeckung zu tun$PSL(2,\mathbb{C})$der identitätsgebundenen Komponente der Lorentz-Gruppe$SO(3,1)$, also haben wir Spinor-Karten, die Lorentz-Transformationen darstellen, genauso wie wir Spinor-Karten verwenden müssen, um eine Quaternion dazu zu bringen, ihre dargestellte Rotation auf einen Vektor zu übertragen.

Tatsächlich sind elektrische Felder real. Die Verwendung komplexer Exponentiale hat keinen anderen Vorteil als eine bequeme Berechnung. Die Interpretation ist normalerweise, dass der imaginäre Teil verworfen wird und nur der reale Teil als real angesehen wird. Das ist natürlich völlig willkürlich. Man könnte auch den Imaginärteil bevorzugen und ihn zur Darstellung der Physik nehmen. Das funktioniert, weil wir elektrische Felder meist nur addieren oder mit Skalaren ( lineare Operationen) multiplizieren . Wenn der Skalar ebenfalls komplex ist, können wir dies verwenden, um Phasenverschiebungen darzustellen, was ebenfalls bequem zu tun ist. Man muss jedoch aufpassen, wenn man Funktionen höherer Ordnung dieser komplexen Größen nimmt. ZB die Energiedichte des elektrischen Feldes, die normalerweise proportional wäre$|\vec E|^2$(wobei sich die vertikalen Balken eher auf die euklidische Vektornorm als auf den komplexen Mod beziehen) muss durch ersetzt werden$(Re(\vec E))^2$.

Eine andere übliche Sache ist, so etwas zu schreiben wie

$\vec E(\vec x,t)=\vec E_0\,(e^{i(k\vec x-\omega t)} + c.c.).$

cc bedeutet komplexes Konjugiertes , also nehmen Sie das komplexe Konjugierte des ersten Terms und addieren es so, dass das Ergebnis das Doppelte des Realteils ist. Daher ist das elektrische Feld in dieser Notation real, aber wir können immer noch mit komplexen Exponentialen arbeiten und müssen die komplexe Konjugierte nicht ausschreiben.