Wassertropfen, die auf einer Oberfläche gleiten (Kurve des *steilsten Gefälles*)

Das folgende Argument geht davon aus, dass das Tröpfchen ein Punktpartikel ist, wie von @m3tro in seinem Kommentar erwähnt. Ich denke, Ihre Frage hat auch ein Punktteilchen angenommen, weil Sie nach "... DER Kurve des steilsten Abstiegs ..." fragen. Wäre es kein Punktteilchen, würde es eine unendliche Anzahl von Kurven überspannen.

Auf das Tröpfchen wirken an jeder Stelle der Oberfläche zwei Kräfte.

1. Die Kraft aufgrund der Schwerkraft. Diese Kraft ist per Definition senkrecht zur Oberflächenpegelkurve an der Tröpfchenposition.

2. Die Normalkraft, die zwischen dem Tropfen und der Oberfläche wirkt. Diese Kraft ist auch senkrecht zur Oberflächenniveaukurve an der Tröpfchenposition, weil die Kraft senkrecht zur Oberfläche ist (per Definition) und die Oberflächenniveaukurve auf der Oberfläche liegt.

Wir haben also zwei Kräfte, die auf den Tropfen wirken, beide senkrecht zur Oberflächenniveaukurve. Daher steht die resultierende Kraft auch senkrecht zur Oberflächenniveaukurve. Daher muss die Beschleunigung des Tropfens auch senkrecht zur Oberflächenpegelkurve und entlang der Kurve des steilsten Abfalls sein.

Sie haben angegeben, dass es keinen Trägheitseffekt gibt. Ich gehe davon aus, dass dies bedeutet, dass das Tröpfchen keine "Erinnerung" an seine aktuelle Bewegung hat und sich immer in Richtung der momentanen Beschleunigung bewegen wird. Dies wird auch der Fall sein, wenn die Geschwindigkeit des Tröpfchens sehr, sehr klein ist.

Ich denke, dies beweist, dass sich das Tröpfchen ohne Trägheit entlang der Kurve des steilsten Abfalls bewegt. Bei Trägheit ist der Weg abhängig von der Geschwindigkeit und damit abhängig von der "Reibungskraft" des Tropfens auf der Oberfläche.

Das Papier Wann findet Wasser den kürzesten Weg bergab? Die Geometrie der steilsten Abstiegskurven scheint meine Schlussfolgerung zu stützen, obwohl ich keinen Zugriff auf das vollständige Papier habe. In einer Fußnote zur Papiervorschau heißt es...

Das Modell des steilsten Abstiegs ist nicht für alle Situationen genau. Ein Problem besteht darin, dass es potentielle Energie berücksichtigt, aber kinetische Energie ignoriert. Wenn Wasser schnell fließt, neigt es dazu, immer in die gleiche Richtung zu fließen, auch wenn es dafür etwas bergauf gehen muss.

Ich werde versuchen, die Behauptung mit analytischer Mechanik zu beweisen oder zu widerlegen:

Ein Wassertropfen folgt dem steilsten Abstiegspfad entlang einer gekrümmten Oberfläche.

Es gibt eine Reihe von Annahmen, die ich treffen werde:

• Reibung entfällt
• Das Tröpfchen ist so klein, dass ich seine Bewegung mit einer Punktmasse annähern kann

Unter Verwendung der Vektorrechnung hat der Weg des steilsten Abstiegs eines Teilchens auf einer beliebigen Oberfläche, der durch eine Funktion von zwei Variablen gegeben ist, einen Geschwindigkeitsvektor, der an jedem Punkt proportional zum negativen Gradienten ist. Mit anderen Worten

$$\dot{\bf{r}}=-k\nabla f$$ Diese Gleichung ist unsere Grundlage für den Beweis der Aussage. Wenn unsere Bewegungsgleichungen damit übereinstimmen, dann ist Ihre Aussage wahr. Ich werde der Einfachheit halber kartesische Koordinaten verwenden; unsere Gleichung wird: $$\dot{x}=-\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}, \space \dot{y}=-\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$$ $$z=f(x,y)$$ Die Aussage für z ist eine holonomische Einschränkung, die besser wie folgt geschrieben wird:

$$\lambda (f(x,y)-z)=0$$

($\lambda$ist ein Lagrange-Multiplikator). Wir sind jetzt bereit, unsere Bewegungsgleichungen zu erhalten. Der Lagrange ist

$$L=T-U$$ Wo $$T = \frac 1 2 m (\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)$$ Und $$U=m g z$$ Lassen Sie uns hinzufügen $\lambda (f(x,y)-z)$zu unserem Lagrange (mit anderen Worten $0$). $$L=\frac 1 2 m (\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2))+m g z+\lambda (f(x,y)-z)$$ Jetzt können wir die Euler-Lagrange-Gleichungen verwenden, um die Bewegungsgleichungen zu erhalten. $$\frac {\partial{L}} {\partial{q_i}}- \frac{d}{dt} \frac {\partial{L}} {\partial{\dot{q_i}}}=0$$

Einstecken unserer Lagrange und Koordinaten ($x$,$y$,$z$,$\lambda$) wir bekommen:

$$-m \ddot{x}+\lambda \frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}=0, \space -m \ddot{y}+\lambda \frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}=0$$ mit anderen Worten, $$\ddot{\bf{r}}=\frac{\lambda}{m}\nabla f$$

Zusammenfassend bedeutet dies, dass das Tröpfchen auf dem Weg des steilsten Abfalls beschleunigt, aber nicht unbedingt den Weg des steilsten Abfalls zurücklegt.

Sicherlich ist es möglich zu zeigen, dass das Tröpfchen unter bestimmten Bedingungen der Kurve des steilsten Abfalls folgt. Man muss nur darauf achten, dass die Oberfläche und die Anfangsposition des Tropfens die richtigen Symmetrien haben. Beispielsweise wird ein Tropfen auf einer schiefen Ebene mit Sicherheit entlang der Kurve des steilsten Abfalls fallen (wenn er keine Anfangsgeschwindigkeit hat). Dasselbe gilt für ein Tröpfchen, das in die „Mitte“ eines geneigten zylindrischen Rohrs platziert wird. Wenn die Oberfläche eine senkrecht zum Boden stehende Spiegelsymmetrieebene hat und Sie das Tröpfchen an der Schnittkurve zwischen dieser Symmetrieebene und der Oberfläche platzieren, folgt es im Allgemeinen dieser Schnittkurve, die auch die Kurve des steilsten Abfalls ist es sei denn, es ist flach. (Diese Schnittkurve ist entweder die Spitze eines "Bergrückens" oder die Unterseite eines "

Beispiel hinzugefügt: Wenn Sie eher mathematisch denken möchten, stellen Sie sich eine durch gegebene Fläche vor

$$z = f(x,y)$$ Wo $f(x,y)$ist eine gerade Funktion von $x$. Wenn Sie das Tröpfchen so platzieren, dass sein Massenschwerpunkt bei liegt $x=0$, wird es die Kurve des steilsten Gefälles hinunterfließen, die durch gegeben ist $x=0$. Siehe zB dieses Tal oder diesen Bergrücken .

Nennen wir die Formel des Hügels, auf dem der Tropfen wandert$z=f(x,y)$. Lassen Sie uns außerdem den Tropfen mit einer Punktmasse approximieren. Um das Problem weiter zu vereinfachen, ignorieren wir die Reibung.

Die Nettokraft auf das Teilchen ist die Summe aus der Normalkraft und dem Gewicht des Punktes.

Wir können einen Vektor parallel zum Normalenvektor finden, indem wir das folgende Kreuzprodukt berechnen:

$$\left(1,0,\frac{\partial f}{\partial x}\right)\times\left(0,1,\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\right)$$ Nennen wir diesen Vektor $N$. Dann ist der Einheitsnormalenvektor $$\frac{1}{\left|\left|N\right|\right|}\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\right)$$ Also die Normalkraft $F_n$, Ist $$\frac{\left|\left|F_n\right|\right|}{\left|\left|N\right|\right|}\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\right)$$ Wir wissen bereits, dass das Gewicht des Punktes ist $$\left(0,0,-mg\right)$$ Die Nettokraft ist also $$\left(-\frac{\left|\left|F_n\right|\right|}{\left|\left|N\right|\right|}\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\left|\left|F_n\right|\right|}{\left|\left|N\right|\right|}\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\left|\left|F_n\right|\right|}{\left|\left|N\right|\right|}-mg\right)$$ Wir können sehen, dass die Projektion dieses Vektors auf die $xy$Ebene zeigt in die gleiche Richtung wie der negative Gradientenvektor, der ist $$-\nabla f(x,y)=\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y}\right)$$ Dies impliziert, dass der Punkt in Richtung des Pfades mit dem steilsten Abstieg beschleunigt wird.