Weg des Lichtstrahls durch variierenden Brechungsindex

Angenommen, ein Lichtstrahl durchläuft ein Medium mit Brechungsindex$n=n(y)$. Im Fall eines inhomogenen Mediums, in dem$n$variiert kontinuierlich in der$y$-Richtung, Wir haben gekrümmte Strahlen, die das Snellsche Gesetz in der Form erfüllen:

$$n\cos\psi=\mathrm{constant}$$ wo der Winkel$\psi$ist die Steigung der Tangente an den Weg.

Das Fermatsche Prinzip besagt das

Der tatsächliche Weg eines Lichtstrahls zwischen zwei festen Punkten macht die Laufzeit des Strahls stationär.

So dass

$$T[\mathcal{P}]=c^{-1}\int_{\mathcal{P}}nds$$ die sich reduzieren auf (im vorliegenden Fall) $$T[y]=c^{-1}\int_{x_0}^{x_1}dx \ n(1+\dot{y}^2)^{1/2}$$ mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichung $$\frac{n}{(1+\dot{y}^2)^{1/2}}=\mathrm{constant}$$

Und beim Schreiben$\dot{y}=\tan\psi$, dies ergibt das Gesetz von Snell.

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Frage : Wenn ich stelle$\dot{y}=0 \Rightarrow y=$Konstante, die keine Extremale und daher keine Strahlen sind. Aber da würde ein solcher Strahl einen konstanten Wert von erfahren$n$, Woher weiß der Strahl, dass er sich biegen muss?