Wie ist das Fermatsche Prinzip richtig zu verstehen?

Folgendes kann nützlich sein. Das Wichtigste, was Sie beachten sollten, ist, dass Sie auch die "zwei Punkte" einbeziehen müssen, zwischen denen sich der Strahl bewegt. Wenn Sie das Problem mit diesen beiden Punkten aufstellen, einen innerhalb des dichteren Mediums und einen innerhalb des dünneren Mediums, dann folgt das Argument.

Ich hoffe das hilft.

Das Fermat-Prinzip ist eine Möglichkeit, die Biegung eines Lichtstrahls (oder anderer Wellen wie Schall- oder seismischer Wellen mit genau definierten Wellenfronten) zu rationalisieren, die sich von Punkt A nach Punkt B bewegen, wenn sie eine Grenze zwischen Regionen mit zwei unterschiedlichen Brechungsindizes überqueren . Wie Sie im ersten Teil Ihres Beitrags richtig zusammengefasst haben, biegt sich der Lichtstrahl in Richtung der Normalen, wenn er sich von einem Bereich mit höherer Geschwindigkeit in einen Bereich mit langsamerer Geschwindigkeit bewegt.

Als Antwort auf die Besonderheiten Ihrer Frage: Wenn Sie sich vorstellen, dass sich der Lichtstrahl in die umgekehrte Richtung bewegt (von Punkt B nach Punkt A), wobei sich das Licht von einem Bereich mit langsamerer Geschwindigkeit zu einer höheren Geschwindigkeit bewegt, würden Sie sehen, wie das Licht die Umkehrung biegt Weg, wie es den Weg zurückverfolgt, den es genommen hat, das ist weg vom Normalen. Diese Symmetrie zeigt sich im Snellschen Gesetz

$$n_{1} \sin (\theta _{\rm incidence }) = n_{2} \sin (\theta _{\rm refraction })$$

da die Gleichung für beide Bahnrichtungen gilt.

Es ist wichtig zu erkennen, dass es zwei verschiedene Arten von Mindestpfaden gibt (Mindestabstand und Mindestlaufzeit). Der kürzeste Weg nach Entfernung ist eine gerade Linie, aber der kürzeste Weg nach Zeit ist der gekrümmte Weg, dem Wellen folgen. Als Gleichung:

$$time_{transit} = \frac{distance{_{1}}}{velocity _{1}} + \frac{distance{_{2}}}{velocity _{2}}$$

hat entlang eines gebogenen Pfades einen minimalen Wert.

Dies wurde auch von einem Mathematikprofessor untersucht, der mit seinem Hund am Strand spazieren ging und einen Tennisball ins Wasser warf. Der Hund lief auf Sand schneller als im Wasser. Der Professor beobachtete, dass sein Hund einen gekrümmten Weg nahm, der nahe dem berechneten minimalen Weg war, der durch das Snellsche Gesetz vorhergesagt wurde, anstatt dem Ball entlang des Weges der minimalen Distanz zu jagen.

• TJ Pennings, "Kennen Hunde Kalkül?", Coll. Mathematik. J. 34:3, 178-182 (2003) .

Ich habe dieses Problem vor einiger Zeit ausgearbeitet und füge ein Diagramm der Hauptanalyse bei. Das erste Bild zeigt die Berechnung der Laufzeit für den geraden Weg, mit Geschwindigkeit des Hundes auf Sand (5 m/s) > Geschwindigkeit des Hundes im Wasser (0,5 m/s). Der Hund ist anfangs 4 m vom Wasser entfernt und der Ball ist 12 m vom Sand entfernt. Ich habe diese Zahlen erfunden.

Das zweite Bild zeigt die Berechnung, wie weit der Hund auf dem Sand laufen sollte, bevor er sich ins Wasser bewegt, um den Weg der minimalen Laufzeit zu nehmen.

Das dritte Bild zeigt die Berechnung der Mindestreisezeit aus der in der zweiten Abbildung berechneten Geometrie.

Ich füge auch einen Screenshot einer Tabellenkalkulationsanalyse bei, in der ich überprüft habe, dass der berechnete Pfad die minimale Transitzeit unter vielen Pfadalternativen hat, die je nach Entfernung d entlang des Sandes variieren, bevor sie ins Wasser gelangen:

Es gibt eine völlig unabhängige Möglichkeit, das Snellsche Gesetz aus Wellenfronten abzuleiten, die ich für eine andere Frage in einem Diagramm dargestellt habe:

Kann sich eine Lichtwellenfront in der Brechung verengen oder verbreitern, und was bedeutet das wirklich für das Licht?