Wie berechnet man den gebrochenen Lichtweg, wenn der Brechungsindex kontinuierlich ansteigt?

Question

Wie berechnet man den gebrochenen Lichtweg, wenn der Brechungsindex kontinuierlich ansteigt?

Optik
Physik
Brechung
geometrische Optik
Variationsprinzip

LCF-Faktorisierung

Angenommen ein einfallendes Licht aus dem Vakuum ( $n_1=1.0$ ) in einige Medien ( $n_2=n_1+\mu\; x^2$ ) wie in der Abbildung unten.

Wie berechnet man die gebrochene Lichtwegkurve in geschlossener Form?

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Aktualisieren:

Versuchen Sie, eine gewöhnliche Differentialgleichung für den gebrochenen Lichtweg gemäß dem Snellschen Gesetz aufzustellen.

Angenommen, die Kurve ist $y=y(x)$ ;

Seit $n_i \sin\theta_i=\text{constant}=n_1\sin\alpha=\sin\alpha$ .

Für jeden Punkt $P:(x_0,y(x_0))$ auf dem Pfad $y(x)$ , wir haben:

bräunen (θ_{P}) = \frac{Sünde θ_{P}}{\cos θ_{P}} = j^{'} (X) = \frac{D j}{D X}, Wo θ_{P} ist der Einfalls- / Brechungswinkel

$\tan(\theta_P)=\dfrac{\sin\theta_P}{\cos\theta_P}=y'(x)=\dfrac{\rm{d}y}{\rm{d}x},\quad \text{where }\theta_P \text{ is incident / refracted angle}$

Seit $\theta_P$ immer ein spitzer Winkel ist, gilt:

\frac{{Sünde}^{2} θ_{P}}{1 - {Sünde}^{2} θ_{P}} = j^{'} (X)^{2} \Rightarrow Sünde θ_{P} = \frac{\pm j^{'} (X)}{\sqrt{1 + j^{'} (X)^{2}}}

$\dfrac{\sin^2\theta_P}{{1-\sin^2\theta_P}}=y'(x)^2\Rightarrow \sin\theta_P=\dfrac{\pm y'(x)}{\sqrt{1+y'(x)^2}}$

Deutlich $n_P\sin\theta_P=\sin\alpha$ , Wo $n_P=1+\mu x^2$ , dann haben wir:

(1 + μ X^{2}) \frac{\pm j^{'} (X)}{\sqrt{1 + j^{'} (X)^{2}}} = Sünde a mit: y(0)=5 | | j^{'} (0) = bräunen a

$\left(1+\mu x^2\right)\dfrac{\pm y'(x)}{\sqrt{1+y'(x)^2}}=\sin\alpha\quad\text{with: y(0)=5} ||y'(0)=\tan\alpha$

Dann geht es darum, wie man die ODE mit einer Randbedingung löst. Kann die ODE in geschlossener Form gelöst werden?

Neugierig

Haben Sie versucht, über das Snellsche Gesetz zu integrieren? Obwohl ich die Berechnung nie durchgeführt habe, scheint es mir, dass einer der Sinus durch eine Taylor-Reihe ersetzt werden kann, da die Winkeländerung in einer dünnen Schicht des Mediums eine kleine Größe sein sollte.

LCF-Faktorisierung

Ich finde es sogar schwierig, eine Differentialgleichung aufzustellen, um einen solchen reflektierten Strahl gemäß dem Snellschen Gesetz zu lösen.

LCF-Faktorisierung

Es erweist sich als Fehlschlag. Ich habe versucht, das Snellsche Gesetz für eine kleine Schicht der Medien zu verwenden

d x

$dx$ , und dann versucht, eine Differentialgleichung basierend auf den Beziehungen zu erhalten. Es funktioniert nicht.

Karl Witthöft

Versuchen Sie, Informationen zu GRIN-Fasern und -Linsen (Gradient Index) nachzuschlagen, z. B. en.wikipedia.org/wiki/Gradient-index_optics

Benutzer2705196

Nur eine kurze Anmerkung, dass die Beziehung zwischen dem Snellschen Gesetz und dem Fermatschen Prinzip subtil ist, wenn der Brechungsindex kontinuierlich variiert. Allgemein

n (x) \sin (θ (x))

$n(x) \sin(\theta(x))$ ist keine Erhaltungsgröße. iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-0807/37/2/025301/meta

C. Jordan

@CuriousOne Ich habe einige Berechnungsseiten verwendet, die die Taylor-Reihe verwenden, wie Wolfram und eMathhelp, auf denen Sie die Sünde (Theta) für die Funktion eingeben können. Ich weiß nicht, ob Sie die Variable (x) * emathhelp ändern müssen .net/calculators/calculus-1/… * wolframalpha.com/widgets/…

C. Jordan

Außerdem, welche sin(theta) würden Sie verwenden, wenn die Berechnungen, die ich mochte, korrekt sind, der Einfallswinkel oder der Brechungswinkel?

Antworten (2)

Wie berechnet man den gebrochenen Lichtweg, wenn der Brechungsindex kontinuierlich ansteigt?

Haben Sie versucht, über das Snellsche Gesetz zu integrieren? Obwohl ich die Berechnung nie durchgeführt habe, scheint es mir, dass einer der Sinus durch eine Taylor-Reihe ersetzt werden kann, da die Winkeländerung in einer dünnen Schicht des Mediums eine kleine Größe sein sollte.
Ich finde es sogar schwierig, eine Differentialgleichung aufzustellen, um einen solchen reflektierten Strahl gemäß dem Snellschen Gesetz zu lösen.
Es erweist sich als Fehlschlag. Ich habe versucht, das Snellsche Gesetz für eine kleine Schicht der Medien zu verwenden $dx$ , und dann versucht, eine Differentialgleichung basierend auf den Beziehungen zu erhalten. Es funktioniert nicht.
Versuchen Sie, Informationen zu GRIN-Fasern und -Linsen (Gradient Index) nachzuschlagen, z. B. en.wikipedia.org/wiki/Gradient-index_optics
Nur eine kurze Anmerkung, dass die Beziehung zwischen dem Snellschen Gesetz und dem Fermatschen Prinzip subtil ist, wenn der Brechungsindex kontinuierlich variiert. Allgemein $n(x) \sin(\theta(x))$ ist keine Erhaltungsgröße. iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-0807/37/2/025301/meta
@CuriousOne Ich habe einige Berechnungsseiten verwendet, die die Taylor-Reihe verwenden, wie Wolfram und eMathhelp, auf denen Sie die Sünde (Theta) für die Funktion eingeben können. Ich weiß nicht, ob Sie die Variable (x) * emathhelp ändern müssen .net/calculators/calculus-1/… * wolframalpha.com/widgets/…
Außerdem, welche sin(theta) würden Sie verwenden, wenn die Berechnungen, die ich mochte, korrekt sind, der Einfallswinkel oder der Brechungswinkel?

299792458 · Answer 1

299792458

Dies kann (oder auch nicht) zu derselben Antwort wie der obige Vorschlag von CuriousOne führen, aber der geeignetste (und längste) Weg, eine Lösung zu versuchen, wäre die Anwendung des Fermat- Prinzips . Die Methode ist im Link gut beschrieben, aber kurz gesagt, Sie würden zu einer Bedingung des Typs geführt

δ \int N D S = 0

$\delta \int n ds = 0$ wo dies

d s

$ds$ kann in Bezug auf Ihre 2D-Koordinaten gegossen werden. Setzen Sie nun die räumliche Abhängigkeit von ein

n

$n$ und ankommen

δ \int N (X, j) \sqrt{(1 + (D j / D X)^{2})} D X = 0

$\delta \int n(x,y) \sqrt{(1+(dy/dx)^2)} dx = 0$

Dies ist eine Art Ab-initio-Ansatz. Ich wäre nicht überrascht, wenn es eine kürzere Methode gibt (vielleicht den Vorschlag von CuriousOne.)

Neugierig

Ich kann mir nicht vorstellen, warum dies nicht zu identischen Ergebnissen führen würde. Das Snellsche Gesetz ist schließlich eine Anwendung des Fermatschen Prinzips. Der einzige Grund, warum ich vorgeschlagen habe, mit Snell zu beginnen, ist, dass es normalerweise vor Fermat gelehrt wird, wenn ich mich richtig erinnere.

299792458

@CuriousOne - dem stimme ich zu. Aber ich war gerade dabei, meine Antwort zu verfassen, als ich OPs Kommentar sah, dass Snells Gesetz für ihn nicht funktionierte. Also habe ich einige Sicherheitswörter hinzugefügt. :)

Neugierig

Daran ist nichts auszusetzen. Ich denke, was ihn an Snell abschrecken könnte, sind die beiden Sinus, von denen einer durch die Näherung der Reihe erster Ordnung zu einem Kosinus werden sollte, wonach wir wahrscheinlich mit einem Tangens enden, der meiner Meinung nach durch den Quadratwurzelterm ausgedrückt werden kann in Ihrer Version ... aber jetzt vermute ich nur.

LCF-Faktorisierung

Beachten Sie, dass die Lösung in closed formmöglicherweise darauf hinweist, dass die Reihennäherung nicht funktionieren sollte.

299792458

@CuriousOne - du rechnest viel schneller im Kopf, als ich folgen kann!! Mal sehen, ob das wirklich so ist :)

LCF-Faktorisierung

Können wir das Snellsche Gesetz nur auf der Grundlage des Fermatschen Prinzips ableiten? -- vielleicht gibt es eine Antwort in irgendeinem Band von Feynmans Physikvorlesung?

299792458

@LCFactorization - Ja, das können wir. Mal sehen, ob ich eine Quelle verlinken kann :)

299792458

Googeln führt mich dazu , aber bitte beachten Sie, dass ich das Video selbst nicht gesehen habe. Also gib mir nicht die Schuld, wenn es nicht gut ist :)

LCF-Faktorisierung

Danke! Ich erinnere mich, dass er in Feynmans Vorlesungen über Physik auch eine solche Möglichkeit erwähnte. PS: Ich habe keinen Zugriff auf youtube/facebook/twitter, weil wir eine sehr große Firewall haben :(

Neugierig

Basierend auf dem Wikipedia-Artikel über Snells Gesetz scheint es viel früher als Fermats Prinzip gewesen zu sein ... was bedeutet, dass einige Leute bereits die richtige Intuition auf der Grundlage geometrischer Argumente hatten. Ich habe den ersten Teil der Berechnung gemacht ... und ja, die Taylor-Reihe für einen der Sinus führt zu einem Tangens-Term. Die schlechte Nachricht ist, dass es das Problem in dn und nicht in dx ausdrückt, was eine weitere Transformation und Integration über die Umkehrung von n(x) erfordert ... was eine Rückwärtsberechnung des Ergebnisses sein kann.

299792458

@LCFactorization Gern geschehen. Es ist eine erneute Behauptung des gleichen (variativen) Prinzips der geringsten Wirkung, das Feynman so sehr liebte. :)

299792458

@ CuriousOne - Ich denke schon. Aber ich versuche dich einzuholen :)

Neugierig

@New_new_newbie: Deine Physik ist sowieso viel besser!

Neugierig

Als Experimentator ist mir einfach aufgefallen, dass die Ableitung des Snellschen Gesetzes aus einem theoretischen Prinzip stammt, nicht aus einer tatsächlichen Messung! In Wirklichkeit bestimmen wir damit den Brechungsindex eines Mediums in einem Refraktometer und nicht umgekehrt! Da es keinen unabhängigen Weg gibt, n genau zu messen, fragt man sich, wie man das Snellsche Gesetz tatsächlich experimentell auf eine gewisse Genauigkeit testen kann ... irgendwelche Abnehmer? Vielleicht sollte ich das zu einer Frage machen?

299792458

@LCFactorization - Youtube-Firewall! OK. Siehe diesen Link .

299792458

@CuriousOne - Die Ableitung kam von theoretischen Prinzipien, muss aber seitdem viele Male experimentell verifiziert worden sein. Ähm. Okay, jetzt verstehe ich es. Diese Frage wäre eine großartige Frage, wenn es keine andere Möglichkeit zum Messen gibt

n

$n$ . Bist du dir absolut sicher, dass es nicht anders geht?

299792458

Aber wenn das Testen selbst das Snellsche Gesetz anwendet, dann ist es sinnlos zu erwarten, dass Diskrepanzen auftauchen. :) Aber es ist trotzdem eine gute Frage und ob es einen alternativen Weg gibt, kann auch ein Teil der Frage sein. Wenn Sie die Wiki-Seite durchgehen, scheint dies nicht der Fall zu sein. Los, poste es. Eine positive Bewertung garantiert :)

Neugierig

n = 1 ist per Definition bekannt (Vakuum), also kann man es definitiv für jedes Material gegen das Vakuum testen, wobei nur ein Parameter zu bestimmen ist ... und dann kann man es gegen Kombinationen verschiedener Materialien testen, aber ich wundere mich darüber, ob das ein Präzisionstest ist? Haben Sie jemals eine Zeitung gesehen, in der sie ein solches Experiment durchgeführt haben? Ah! Wie konnte ich nur so dumm sein! In einem Interferenzexperiment kann man den Brechungsindex mit enormer Präzision messen! Indem man die Probe in einem Winkel verwendet, sollte man in der Lage sein, das Snelliussche Gesetz in die Messung einzubeziehen.

299792458

Oh ja. Auch hier (Dummheit). Idee abgebrochen :( Aber egal, halte es nicht schräg. Messen

n_{r e l a t i v e}

$n_{\rm relative}$ aus diesem Experiment und rufe die ''Definition'' auf

n = 1

$n=1$ .

299792458

Nein warten. Rufen Sie nicht an. Das würde eine Selbstverständlichkeit bedeuten

n_{a i r} \approx n_{v a c u u m}

$n_{\rm air} \approx n_{\rm vacuum}$ , was wiederum aus Snells gesetzbasierten Beweisen stammt. Sie haben also Recht. Das Snellsche Gesetz muss in das Experiment einbezogen werden.

LCF-Faktorisierung

Ich habe es aktualisiert, indem ich ODE nur mit dem Snellschen Gesetz eingerichtet habe. Wie löse ich es in geschlossener Form? Sind die beiden Lösungen gleichwertig? Vermuten

α = \frac{π}{6}

$\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ Und

μ = 1.0 \times 10^{- 6}

$\mu=1.0\times 10^{-6}$

Benutzer2705196

Die Beziehung zwischen dem Snellschen Gesetz und dem Fermatschen Prinzip ist subtil, wenn sich der Brechungsindex kontinuierlich ändert. Es stellt sich heraus

n (x) \sin (θ (x))

$n(x) \sin(\theta(x))$ wird im Allgemeinen nicht wirklich konserviert! iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-0807/37/2/025301/meta

299792458

@ user2705196 - Danke für den Hinweis auf diese Arbeit, habe das nicht sehr detailliert durchgegangen, scheint aber eine sehr gute Referenz zu sein. Außerdem verlinke ich auf die arXiv-Version Ihres verlinkten Artikels, da Ihr Eur. Phys. J Artikel ist hinter einer Paywall.

Krupip

@299792458 Was integrierst du dazwischen? Sicher, ich kann ein Integral zwischen zwei Punkten im Raum aufstellen, aber wir kennen keinen dieser Punkte, oder? Im Wiki-Artikel wird davon gesprochen, dass A und B zwei Punkte im Raum sind.

Ruslan · Answer 2

Die Herleitung der "Bewegungsgleichungen" für den Lichtstrahl aus dem Fermat-Prinzip ist im Buch "Reflections on Relativity" , Kapitel 8.4 "Refraktionen zur Relativität" angegeben .

Wir wissen, dass der Brechungsindex $n$ an einem Punkt $(x,y)$ gleich $c/v$ , Wo $v$ ist die Lichtgeschwindigkeit an diesem Punkt. Also, wenn wir den Pfad durch die Gleichungen parametrisieren $x = x(u)$ Und $y = y(u)$ , die "optische Weglänge" von Punkt $A$ darauf hinweisen $B$ (dh die Zeit, die ein Lichtstrahl benötigt, um den Weg zu durchqueren) wird durch das Integral angegeben

$L = \int_{A}^{B} N D S = \int_{A}^{B} N \sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2}} D u$ $L=\int\limits_A^B n\,\mathrm{d}s=\int\limits_A^Bn\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\,\mathrm{d}u$

wobei Punkte Ableitungen in Bezug auf den Parameter bedeuten $u$ . Um dieses Integral zu einem Extremum zu machen, lassen Sie $f$ bezeichnen die Integrandenfunktion

$F (X, j, \dot{X}, \dot{j}) = N (X, j) \sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2}}$ $f(x,y,\dot{x},\dot{y})=n(x,y)\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$

Dann sind die Euler-Gleichungen (eingeführt in Abschnitt 5.4).

$\begin{aligned} \frac{\partial N}{\partial X} = \frac{D}{D u} (\frac{\partial F}{\partial \dot{X}}) & \frac{\partial N}{\partial j} = \frac{D}{D u} (\frac{\partial F}{\partial \dot{j}}) \end{aligned}$ $\begin{align} \frac{\partial n}{\partial x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}u}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot x}\right) && {} && \frac{\partial n}{\partial y}=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}u}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot y}\right) \end{align}$

was gibt

$\begin{aligned} \frac{\partial N}{\partial X} \sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2}} = \frac{D}{D u} [\frac{N \dot{X}}{\sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2}}}] & \frac{\partial N}{\partial j} \sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2}} = \frac{D}{D u} [\frac{N \dot{j}}{\sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2}}}] \end{aligned}$ $\begin{align} \frac{\partial n}{\partial x}\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}u}\left[\frac{n\dot x}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}\right] && {} && \frac{\partial n}{\partial y}\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}u}\left[\frac{n\dot y}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}\right] \end{align}$

Wenn wir nun unseren Parameter definieren $u$ als räumliche Weglänge $s$ , dann haben wir $\dot{x}^2+\dot{y}^2=1,$ und so reduzieren sich die obigen Gleichungen auf

$\begin{matrix} (1a) & \frac{\partial N}{\partial X} = \frac{D}{D S} (N \frac{D X}{D S}) \end{matrix}$ $\frac{\partial n}{\partial x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}s}\left(n\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} s}\right)\tag{1a}$ $\begin{matrix} (1b) & \frac{\partial N}{\partial j} = \frac{D}{D S} (N \frac{D j}{D S}) \end{matrix}$ $\frac{\partial n}{\partial y}=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}s}\left(n\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} s}\right)\tag{1b}$

Dies sind die „Bewegungsgleichungen“ für ein Photon in einem heterogenen Medium, wie sie üblicherweise in Bezug auf den räumlichen Wegparameter formuliert werden $s$ .

Lösen Sie nun diese Gleichungen für $x(s)$ Und $y(s)$ , erhalten Sie Ihre Strahlenkurve in Ihrem Medium $n(x,y)$ .

Wie berechnet man den gebrochenen Lichtweg, wenn der Brechungsindex kontinuierlich ansteigt?

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