Warum sollte man das Snellsche Gesetz für die kürzeste Zeit befolgen?

(Die folgende Antwort ist im Wesentlichen in "The Feynman LECTURES ON PHYSICS-Mechanics, Radiation & Heat , Vol. 1, 26-3 Fermat's Prinzip of Least Time" enthalten.)

Angenommen, Sie befinden sich an Punkt A im Land und ein schreiendes Mädchen befindet sich an Punkt B im Meer. Sie können mit einer Geschwindigkeit laufen$\:v_{1}\:$auf dem Land größer als die Geschwindigkeit$\:v_{2}\:$Sie können im Meer schwimmen. In einem Moment entscheiden Sie sich, dem Weg ACB zu folgen und Zeit zu verbringen$\: t_{1}=AC/v_{1}\:$Laufen auf dem Land und der Zeit$\: t_{2}=CB/ v_{2}\:$Schwimmen im Meer, das ist totale Zeit

$$\begin{equation} t_{tot}=t_{1}+t_{2}=\dfrac{AC}{v_{1}}+\dfrac{CB}{v_{2}} \tag{01} \end{equation}$$

Aber nach einer Weile änderst du deine Meinung und beschließt, den Punkt C an der Küste etwas nach rechts zum Punkt D zu verschieben. Aber dann fragst du dich, ob du durch eine solche Verschiebung die Gesamtzeit verkürzen kannst oder nicht.
Für infinitesimal kleinen Hubraum$\:CD\equiv \Delta x\:$Sie können die folgenden Näherungen machen:

$$\begin{equation} AE \approx AC \qquad \theta_{1}^{\prime} \approx \theta_{1} \qquad BZ \approx BD \qquad \theta_{2}^{\prime} \approx \theta_{2} \tag{02} \end{equation}$$

Du merkst, dass du einerseits die Schwimmstrecke dadurch verringerst

$$BC-BD \approx CZ=\Delta x \cdot \sin\theta_{2} \tag{03}$$ also das Verändern (Verringern) der Schwimmzeit um $$\Delta t_{2}=t_{2}^{\prime}-t_{2}=-\Delta x \cdot \dfrac{\sin\theta_{2}}{v_{2}} \tag{04}$$ Andererseits erhöhen Sie die Laufstrecke um $$AD-AC \approx DE=\Delta x \cdot \sin\theta_{1} \tag{05}$$ also Änderung (Erhöhung) der Laufzeit um $$\Delta t_{1}=t_{1}^{\prime}-t_{1}=+\Delta x \cdot \dfrac{\sin\theta_{1}}{v_{1}} \tag{06}$$

Beim Ausgleichen ist also die gesamte Zeitänderung

$$\Delta t_{tot}=t_{tot}^{\prime}-t_{tot}=\left(t_{2}^{\prime}+t_{1}^{\prime} \right)-\left(t_{2}+t_{1}\right)=\Delta t_{2}+\Delta t_{1}= \Delta x \cdot\left(\dfrac{\sin\theta_{1}}{v_{1}}- \dfrac{\sin\theta_{2}}{v_{2}}\right) \tag{07}$$ Das bedeutet, wenn $$\left(\dfrac{\sin\theta_{1}}{v_{1}}- \dfrac{\sin\theta_{2}}{v_{2}}\right) > 0 \tag{08}$$ dann unendlich klein nach rechts bewegen, $\: \Delta x >0 \:$, erhöhen wir die Zeit, während wir uns nach links bewegen, $\: \Delta x <0 \:$, verkürzen wir die Zeit. Falls also die Bedingung (08) gültig ist, müssen wir links von Punkt C suchen, um eine kürzere Zeit zu finden.

Wenn

$$\left(\dfrac{\sin\theta_{1}}{v_{1}}- \dfrac{\sin\theta_{2}}{v_{2}}\right) < 0 \tag{09}$$ dann unendlich klein nach rechts bewegen, $\: \Delta x >0 \:$, wir verringern die Zeit, während wir uns nach links bewegen, $\: \Delta x <0 \:$, erhöhen wir die Zeit. Falls also die Bedingung (09) gültig ist, müssen wir, um eine kürzere Zeit zu finden, rechts von Punkt C suchen.
Aber schließlich, wenn $$\left(\dfrac{\sin\theta_{1}}{v_{1}}- \dfrac{\sin\theta_{2}}{v_{2}}\right) = 0 \tag{10}$$

dann entweder nach rechts,$\: \Delta x >0 \:$, oder nach links bewegen ,$\: \Delta x <0 \:$, ist die Änderung infinitesimal Null. Dies ist die Definition der Extrempunkte einer Funktion. Bedingung (10) ist also die kürzeste Zeit, und wenn Sie ein Lichtstrahl sind, dann in Bezug auf die Brechungsindizes

$$v_{1}=c_{1}=\dfrac{c_{0}}{n_{1}}, \quad v_{2}=c_{2}=\dfrac{c_{0}}{n_{2}} \tag{11}$$ und (10) ist das Gesetz von Snell

$$\bbox[#FFFF88,12px]{n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2} \qquad \textbf{(Snell's Law)}} \tag{12}$$

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BEARBEITEN

Wie gilt das also für Partikel? [Zeigt diese Aussage auf] Wellen-Teilchen-Dualität?

Nein, die Tatsache des Snellschen Gesetzes kann nicht als Beweis für die Welle-Teilchen-Dualität des Lichts angesehen werden , auch wenn die Antwort von Frobenius / die Herleitung von Feynman oberflächlich die Bahn eines Teilchens berücksichtigt.

Denn Lichtstrahlen lassen sich genauso gut vollständig wellenförmig interpretieren, nämlich als Einheitsnormale zu den Phasenfronten von Wellen. Immer wenn Lösungen der D'Alembert/Helmholtz-Wellengleichung eine langsam variierende Hüllkurvennäherung erfüllen, folgt die Eikonal-Gleichung und das Snellsche Gesetz für Strahlnormalen an Grenzflächen ist die unausweichliche Schlussfolgerung der Eikonal-Gleichung. Alle diese Konzepte sind wiederum äquivalent zu Fermats „Least Time“-Prinzip.

Die Annäherung an die sich langsam ändernde Einhüllende besteht im Wesentlichen darin, dass über Bereiche von weniger als mehreren Wellenlängendurchmessern die Welle lokal als eine ebene Welle mit einer wohldefinierten Phasenfront betrachtet werden kann, dh die Lösung$\psi(\mathbf{r})$der Helmoltz-Gleichung als Funktion der Position$\mathbf{r}$ist von der Form$\psi(\mathbf{r}) = \Psi(\mathbf{r})\,\exp(i\,\varphi(\mathbf{r}))$, wo die Amplitude$\Psi(\mathbf{r})$ist reell und variiert signifikant nur über Bereiche, die viel größer als eine Wellenlänge sind. Über Bereiche von wenigen Wellenlängen wird die Phase gut angenähert$\varphi(\mathbf{r})\approx\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}$.

Ein Strahl ist dann die Integralkurve des Vektorfeldes$\nabla\varphi$, und desto langsamer die Amplitude$\Psi(\mathbf{r})$im Vergleich zu einer Wellenlänge variiert, desto genauer gelten die Eikonal-Gleichung und das Snellsche Gesetz.

Ich zeige in dieser Antwort hier und den Antworten, auf die man verweist, wie man die Eikonal-Gleichung, das Fermat-Prinzip und die langsam variierende Hüllkurvennäherung voneinander ableitet .

Aber es gibt auch eine experimentelle Antwort, die auf Ihre Frage gegeben werden kann. Es kann experimentell gezeigt werden, dass Wellen in Wellentanks, die sich über Grenzflächen zwischen Regionen unterschiedlicher, konstanter Tiefe bewegen, das Snellsche Gesetz erfüllen. Die Eikonal-Gleichung und das Snellsche Gesetz werden auch in der Seismologie und anderen, vollständig wellengesteuerten Bereichen der Physik erfolgreich eingesetzt.