Welche Informationen kann ich erhalten, wenn eine elliptische Umlaufbahn eine kreisförmige Umlaufbahn mit dem Radius 𝑟 schneidet und die Ellipsengeschwindigkeit gleich der Kreisgeschwindigkeit ist?

Okay, ich würde das folgendermaßen angehen.

Teil 1: Wahre Anomalie$\theta$bei$r$in Bezug auf die Exzentrizität der elliptischen Bahn$e$

Der erste Ort, an dem ich anfangen würde, ist die Vis-Viva-Gleichung , die für alle Umlaufbahnen um einen bestimmten Körper mit einem bestimmten Gravitationsparameter führt$\mu$Links relative Geschwindigkeit$v$mit radialem Abstand$r$und große Halbachse$a$.

$$v^2 = \mu\left ( \frac{2}{r}-\frac{1}{a} \right )$$

Daraus wissen wir, dass wenn$v_{ellipse}$=$v_{circular}$=$v$bei$r$, Dann$r$=$a$sowohl für die Ellipse als auch für den Kreis.

Ihre bereitgestellten Gleichungen für True Anomaly$\theta$für elliptische Bahnen geht nach dem Einsetzen zu Folgendem$r$für$a$. Wir nehmen einfach den im ersten oder zweiten Quadranten.

$$\theta = \cos^{-1} \left ( \frac{r(1-e^2)}{re} - \frac{1}{e}\right )=\cos^{-1} \left ( \frac{(1-e^2)}{e} - \frac{1}{e}\right )$$

$$= \cos^{-1} \left ( -\frac{e^2}{e} \right ) = \cos^{-1} (-e)$$

Teil 2: Flugbahnwinkel$\gamma$bei$r$in Bezug auf die Exzentrizität der elliptischen Bahn$e$

Flugbahnwinkel ,$\gamma$(beim Link ist es "Geschwindigkeitswinkel relativ zur Senkrechten zur radialen Richtung):

$$\gamma = \tan^{-1}\frac{e \sin \theta}{1 + e \cos\theta}$$

Und mit trigonometrischen Identitäten kann ich (obwohl ich etwas schlampig mit meinen bin$\pm$):

$$\gamma = \tan^{-1}\frac{e \sqrt{1-\cos^2 \theta}}{1 + e \cos\theta} = \tan^{-1}\frac{e \sqrt{1-e^2}}{1 - e^2} = \tan^{-1}\frac{e }{\sqrt{1-e^2}}$$

Und danke an HopDavid, der mich an inverse trigonometrische Identitäten erinnert hat , denn das bedeutet für den Flugbahnwinkel,

$$\gamma = \sin^{-1}e$$ Teil 3:$\Delta v$erforderlich, um von einer kreisförmigen auf eine elliptische Umlaufbahn zu wechseln$r$

Und wie von David Hammen in den Kommentaren erwähnt, kann man Delta-V nicht nur in Bezug auf ausdrücken$e$Und$r$, weil das Delta-V absolut eine Funktion von sein wird$v$, und das hängt davon ab, was Sie umkreisen und wie weit Sie davon entfernt sind.

Wenn Sie den Flugbahnwinkel, die Geschwindigkeit, haben, können Sie sich auf den Kosinussatz berufen , um das Delta-V zu erhalten, da wir uns nur mit der Vektoraddition mit zwei Magnitudenbeinen befassen$v$durch einen Winkel getrennt$\gamma$

$$\Delta v^2 = 2v^2 - 2v^2 \cos\gamma = 2v^2 - 2v^2 \cos\left({\sin^{-1}e}\right)$$ $$= 2v^2 \left(1 - \cos\left(\sin^{-1}e\right)\right)$$

Inverse trigonometrische Identität zur Rettung wieder und:

$$\Delta v^2 = 2v^2(1 - \sqrt{1-e^2})$$

Nochmals vielen Dank an HopDavid für den Hinweis auf mein fehlendes Quadrat im Kosinussatz. Das bringt uns zu

$$\Delta v = \sqrt{2v^2(1 - \sqrt{1-e^2})}$$ Zumindest, wenn wir den Gravitationsparameter einbringen dürfen$\mu$, können wir zur Circular Orbit Velocity- Gleichung gehen: $$v = \sqrt{\frac{\mu}{r}}$$

Und schließe mit dem Folgenden ab.

$$\Delta v = \sqrt{2\frac{\mu}{r} \left(1 - \sqrt{1-e^2}\right)}$$

aber ich bin mir nicht sicher, ob das nach dem Buchstaben der Frage zulässig ist. Dies stimmt mit HopDavids Antwort überein und ich danke ihm für seine Unterstützung.

In seiner ausgezeichneten Antwort verwendete Notovy die vis viva-Gleichung, um zu demonstrieren, dass gleiche Geschwindigkeiten r = a implizieren.

Eine Grundeigenschaft zeigt auf eine Ellipse: Die Summe der Entfernung von einem Brennpunkt plus der Entfernung zum anderen Brennpunkt ist 2a.

Wenn also der Radiusvektor die gleiche Länge wie die große Halbachse a hat, bedeutet dies, dass das Ende des Radiusvektors am Ende der kleinen Halbachse der Ellipse liegt.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir unsere Einheiten so wählen, dass sowohl der Radius des Kreises als auch die große Halbachse a eine Einheit bilden.

Unter Verwendung dieser Einheiten ist der Abstand vom Ellipsenmittelpunkt zum Brennpunkt im Mittelpunkt des Systems e, die Exzentrizität der Ellipse.

Unter Verwendung grundlegender Definitionen der Trigonometrie basierend auf dem Einheitskreis können wir cos(θ) = -e sehen. So:

θ = acos(-e)

Nun setzen wir die Geschwindigkeitsvektoren ein:

Eine Tangente an eine Ellipse an der kleinen Halbachse ist parallel zur Hauptachse. Wir konstruieren ein Parallelogramm mit Radius und Geschwindigkeitsvektor als Seiten. Gegenüberliegende Ecken des Parallelogramms sind kongruente Winkel.

Ein Geschwindigkeitsvektor in einer kreisförmigen Umlaufbahn steht im 90º-Winkel zum Radiusvektor. Wenn eine Linie zwei parallele Linien schneidet, sind gegenüberliegende Winkel kongruent. Wir wissen also, dass die Geschwindigkeit vecotr von der Kreisbahn auch die dem Ortsvektor gegenüberliegende Parallelogrammkante rechtwinklig kreuzt.

Die drei Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180º. Wir wissen also, dass der Flugbahnwinkel λ derselbe ist wie der Winkel cpf1.

Eine weitere grundlegende Methode zur Definition trigonometrischer Funktionen ist die Verwendung eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse 1. Wir sehen sin(λ) = e. So:

λ = asin(e)

Jetzt für dv in Bezug auf r und e. Wie jeder sagt, ist es auch notwendig, µ zu verwenden.

dV ist die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen beide Seiten die Geschwindigkeit der Kreisbahn haben, (µ/r)^(1/2). Wie notovny verwende ich das Kosinusgesetz, um dV zu erhalten:

Notovny bezieht sich auf trigonometrische Identitäten, um cos(λ) = (1-e^2)^1/2 zu erhalten. Ich benutze den Satz des Pythagoras, um das zu zeigen.

dV = (2(µ/r) (1 - (1-e^2 )^1/2 ))^1/2

Meine Antwort ist so ziemlich die gleiche wie die von notovny, aber ich verwende einen visuellen Ansatz und High-School-Geometrie. Hoffentlich ist meine Erklärung für visuelle Denker wie mich zugänglicher.