Welche Kraft wirkt auf einen Dipol in einem gleichförmigen elektrischen Feld?

Der Winkel$\theta$der in den Polarkoordinaten der Position des Dipols erscheint, ist nicht gleich dem Winkel$\theta'$zwischen der Richtung des Dipols und der Richtung des elektrischen Felds. Wenn Sie den Dipol in den Raum verschieben,$\theta$ändert sich, aber$\theta'$nicht. Sie haben die beiden zusammengeführt.

Es kann hilfreich sein, die Kraft und das Drehmoment in Vektorform auszudrücken. Die Wechselwirkungsenergie ist$U=-\vec{p}\cdot\vec{E}$und wir nehmen$\vec{E}$im Raum einheitlich sein. Daher ist dieser Ausdruck positionsunabhängig$\vec{r}$. Wir können die Kraft schreiben als

$$\vec{F} = -\vec{\nabla}_{\vec{r}} U$$ und, wenn wir wollen, in den durch definierten Polarkoordinaten ausdrücken$\vec{r}=(r\sin\theta\cos\phi,r\sin\theta\sin\phi,r\cos\theta)$, aber für ein einheitliches Feld werden wir bekommen$\vec{F}=\vec{0}$so oder so, weil$U$hat keine Abhängigkeit von$\vec{r}$.

Wenn wir den Dipol in Bezug auf seine Größe und einen Einheitsvektor wie diesen schreiben$\vec{p}=p\vec{e}$, kann das Drehmoment ausgedrückt werden

$$\vec{\tau} = -\vec{e}\times \vec{\nabla}_{\vec{e}} U$$ wobei zu beachten ist, dass sich der Gradient auf die Komponenten des Vektors bezieht$\vec{e}$, nicht$\vec{r}$. Für die gegebene Form der Energie gilt$U=-p\vec{e}\cdot\vec{E}$das wird $$\vec{\tau} = p\vec{e}\times \vec{E} = \vec{p}\times \vec{E}.$$ Auch hier ist es möglich, dies in Polarkoordinaten zu schreiben, wenn wir dies wünschen. Wir müssen definieren$\vec{e}=(\sin\theta'\cos\phi',\sin\theta'\sin\phi',\cos\theta')$, wo die Winkel$\theta'$Und$\phi'$sind die Polarwinkel des Dipols nicht gleich$\theta$Und$\phi$. Wenn wir wählen$\vec{E}$in die zeigen$z$Richtung, dann$\vec{p}\cdot\vec{E}=pE\cos\theta'$damit wir schreiben können$U=-pE\cos\theta'$. Ich werde die Herleitung nicht ausschreiben, aber es ist nicht zu kompliziert. Es ergibt das gleiche Ergebnis.

Es kann einige oberflächliche Ähnlichkeiten zwischen dem Ausdruck für das Drehmoment auf den Dipol geben, das um die Mitte des Dipols wirkt, und der allgemein verwendeten Formel für das Drehmoment um den Ursprung, das von einer Kraft erzeugt wird$\vec{F}$an einem Punkt handeln$\vec{r}$, nämlich$\vec{r}\times\vec{F}$. Diese letzte Formel gilt hier nicht: die Kraft$\vec{F}$Null ist, und in jedem Fall der Ausdruck$\vec{r}\times\vec{F}$würde die Polarwinkel beinhalten$\theta$Und$\phi$, nicht$\theta'$Und$\phi'$. Man kann einen Ausdruck für das Drehmoment ableiten, indem man den Dipol als zwei Ladungen bei schreibt$\pm d\vec{e}$(Wo$d$klein ist), die Kraft auf jede Ladung auswerten und die Formel anwenden$\pm d\vec{e}\times\vec{F}$zu beiden Vorwürfen. Dies ergibt eine oberflächlich ähnlich aussehende Formel$\vec{r}\times\vec{F}$, aber mit der Ausrichtung von$\vec{e}$, nicht$\vec{r}$.