Kraft zwischen zwei Punktdipolen

Der Übergang vom Feld zur Kraft wird schwierig sein, da Sie a priori nicht wissen, wie ein Dipol auf ein Feld reagiert, insbesondere wenn das Feld nicht homogen ist. Der Weg, dies zu tun, ist derselbe, wie Sie das Feld für den ersten Dipol finden: Finden Sie die Nettokraft auf die beiden Ladungen des zweiten Dipols und nehmen Sie dann die Grenze, wenn ihre Trennung gegen Null geht (während Sie die Ladung groß genug halten). das Dipolmoment ist konstant). Dies ist in der Tat ziemlich chaotisch, daher ist es besser, die Wechselwirkungsenergie zu berechnen und dann die Kraft als Gradient dieser Energie zu finden.

Beginnen Sie dazu mit einem Punktdipol mit Dipolmoment$\mathbf p$am Ursprung, der ein elektrostatisches Potential von verursacht

$$V_\text{dip}=\frac{\mathbf p\cdot \mathbf r}{r^3},$$ also die potentielle Energie einer Ladung $q$an Stelle $\mathbf r$Ist $$U_{q}=q\frac{\mathbf p\cdot \mathbf r}{r^3}.$$

Um den zweiten Dipol herzustellen, beginnen Sie mit einer Ladung$-q$an Stelle$\mathbf r$, und fügen Sie eine zweite Ladung hinzu$+q$an Stelle$\mathbf r+\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}$. Das Dipolmoment des Paares ist$\mathbf p'=q\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}$, und ihre Wechselwirkungsenergie mit dem ersten Dipol ist

$$U_\text{fin. dip.}=-q\frac{\mathbf p\cdot \mathbf r}{r^3}+q\frac{\mathbf p\cdot(\mathbf r+\Delta r\,\hat{\mathbf{n}})}{\|\mathbf r+\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}\|^3}.$$

Jetzt kommt die heikle Angelegenheit, das Limit zu nehmen$\Delta r\to 0$. Was es kompliziert macht, ist das Vorhandensein von$\Delta r$im Nenner, der über die ersten beiden Terme einer Binomialreihe behandelt werden muss:

$$\begin{align} \|\mathbf r+\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}\|^{-3}&=\left(r^2+2\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf r +\Delta r^2\right)^{-3/2} \\& =\frac{1}{r^3}\left(1-\frac32 \times \frac{2\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf r}{r^2}+O\left(\frac{\Delta r^2}{r^2}\right)\right) \\& \approx\frac{1}{r^3}-3\frac{\Delta r}{r^4}\hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{r}}, \end{align}$$ Ignorieren der quadratischen Terme. Setzt man dies in die Interaktionsenergie ein, erhält man

$$U_\text{fin. dip.}=-q\frac{\mathbf p\cdot \mathbf r}{r^3}+q(\mathbf p\cdot\mathbf r+\Delta r\,\mathbf p\cdot\hat{\mathbf{n}})\left(\frac{1}{r^3}-3\frac{\Delta r}{r^4}\hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{r}} \right)+O\left(q\frac{\Delta r^2}{r^5}\right).$$

Hier heben sich die konstanten Terme auf, und Sie haben zwei verschiedene lineare Terme.

$$U_\text{fin. dip.}= \frac{(q\Delta r\,\hat{\mathbf{n}})\cdot\mathbf p}{r^3} -3\frac{1}{r^3}(q\Delta r\hat{\mathbf{n}})\cdot\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf p\cdot\hat{\mathbf{r}} +O\left(q\frac{\Delta r^2}{r^5}\right).$$

Um die Grenze zu nehmen, können Sie beachten, dass die linearen Terme im Dipolmoment konstant bleiben$\mathbf p'=q\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}$, also bleiben sie so wie sie sind. Die quadratischen Terme hingegen haben eine steigende Ladung wie$q=p'/\Delta r$, Aber ihre$\Delta r$Die Abhängigkeit ist schneller und sie sinken auf null. Im Grenzfall ist dann die Wechselwirkungsenergie

$$U_\text{dip.-dip.}= \frac{ \mathbf p'\cdot\mathbf p -3(\mathbf p'\cdot\hat{\mathbf{r}})(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf{r}}) }{r^3} .$$

Um die Kraft am zweiten Dipol zu spüren, muss man den Gradienten in Bezug nehmen$\mathbf r$, oder wiederholen Sie diese Rechnung mit der Dipolkraft

$$\mathbf F_\text{dip}=-\nabla V_\text{dip}=-\frac{\mathbf p}{r^3}+3\frac{\mathbf p \cdot \mathbf r}{r^5} \mathbf r.$$ Ersteres ist einfacher, obwohl Sie vielleicht das Formular verwenden möchten $$U_\text{dip.-dip.}= \frac{ \mathbf p'\cdot\mathbf p }{r^3} -\frac{ 3(\mathbf p'\cdot{\mathbf{r}})(\mathbf p\cdot{\mathbf{r}}) }{r^5} .$$ Wenn Sie die Schritte in meiner Berechnung nicht vollständig reproduzieren können, empfehle ich Ihnen jedoch, sie mit der Kraft zu wiederholen und zu überprüfen, ob beide Ansätze übereinstimmen, oder ob Ihnen etwas fehlt.