Wie man das 4π3p⃗ δ3(r⃗ )4π3p→δ3(r→)\frac{4\pi}{3}\vec{p}\delta^3(\vec{r})-Element für das Dipolfeld herleitet, aus seinem Potenzial?

Dies könnte eine etwas allgemeinere Frage sein, wie man herausfindet, was der geeignete (Delta-) Ausdruck in singulären Punkten ist, aber z. B. für den Dipol können wir sein Potenzial durch eine Taylor-Annäherung ableiten:

$$\Phi(\vec{r})=\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{r^3}.$$
Dies wurde jedoch abgeleitet $$\int d^3r' \rho(\vec{r'})-\vec{r'}\nabla\frac{1}{r},$$ für die der obige Potentialausdruck nur gültig ist$r\neq 0$.
Das Feld soll sich jedoch aus dem obigen Potenzial ableiten (was nur für$r\neq 0$), und es ist
$$\vec{E}(\vec{r})=\frac{3\hat{r}(\hat{r}\cdot\vec{p})-\vec{p}}{r^3}-\frac{4\pi}{3}\vec{p}\delta^3(\vec{r}).$$
Der erste Term kann durch Rechnen hergeleitet werden$E=-\nabla\Phi$bei der Annahme$r\neq 0$, aber für das zweite Element ist unklar, wie es abgeleitet werden soll.
Da dies im Grunde ein Ergebnis von$\Delta \frac{1}{r}$Ich kann sehen, warum$4\pi\delta(\vec{r})$beteiligt ist, aber wie leitet man genau diesen Begriff ab? und warum ist das Feld eine Summe einer Delta-Funktion bei 0 und einer Funktion, die nicht definiert ist/bei 0 konvergiert?