Gewinnung der Ladung aus der Ladungsdichte mittels Verteilungstheorie

In der Elektrostatik scheint es aus mehreren Gründen der richtige Weg zu sein, die Ladungsdichte zu verstehen ρ ist nicht als Funktion ρ : R 3 → R , sondern als Verteilung ρ ∈ S ' ( R 3 ) .

Zum Beispiel bezeichnen δ A das Dirac-Delta zentriert bei A ∈ R 3 und definiert durch ( δ A , F ) = F ( A ) , eine Sammlung von Punktladungen ist dann gegeben durch

ρ = ∑ Q ich δ X ich .

Hier verwende ich die rigorose Verteilungstheorie, bei der temperierte Verteilungen kontinuierliche lineare Funktionale sind, die im Schwartz-Raum definiert sind. Also gibt es keine ρ ( X ) , Weil ρ ist keine Funktion an R 3 , noch irgendeine δ ( X − X ich ) , Weil δ X ich ist auch keine Funktion an R 3 .

Nun, der Punkt ist, dass da ρ ist keine Funktion an R 3 , anders als in der Physik, kann es nicht integriert werden. In der Tat,

Q = ∫ ρ ( X ) D 3 X

ist bedeutungslos, weil ρ ist keine Funktion. Selbst wenn man versuchen würde zu sagen, dass dies mit einem Maß auf dem Raum der Funktionen gelöst würde, würde das nicht viel helfen. Wenn das der Fall wäre, könnten wir Funktionen mit Verteilungswerten integrieren , aber ρ ist das nicht. Es ist eine einzelne Verteilung, die eine Funktion verallgemeinert R 3 .

Das Einzige, was wir tun können ρ ist auf Funktionen anzuwenden. Interessanterweise, wenn wir auswählen F = 1 , wir haben ( ρ , F ) = Q im Point-Charge-Fall ist dies jedoch nicht korrekt, da 1 ∉ S ( R 3 ) und daher ρ kann nicht darüber handeln.

Meine Frage ist also: gegeben ρ ∈ S ' ( R 3 ) Die Ladungsdichte wird als temperierte Verteilung betrachtet, und wenn man bedenkt, dass wir die Dinge mit mathematischer Strenge tun wollen, wie können wir die Ladung wiederherstellen Q aus ρ da wir es nicht integrieren können?

Ich bin mit dem Thema nicht vertraut, aber was sind die Gründe, warum ich nicht an die Ladungsdichte als Funktion denke? Ich dachte, die implizite Annahme bei der Verwendung von Dirac-Deltas im Elektromagnetismus sei, dass sie nur der Bequemlichkeit dienen und durch jede andere Funktion mit scharfer Spitze (z. B. Gauß) ersetzt werden könnten.

Antworten (3)

Es ist nicht nötig, zur Verteilungstheorie zu gehen: Was die Gesamtladung in einem beliebigen Volumen betrifft,* können Sie die Ladungsdichte einfach als Maß (oder genauer gesagt als vorzeichenbehaftetes Maß ) über dem üblichen Lebesgue definieren σ -Algebra A von Mengen im 3D-Raum.

So können Sie sehen Q : A → R als Maß, das jeder Lebesgue-messbaren Menge zuordnet S ∈ A die Ladung

S ↦ Q ( S ) = ∫ S D Q .
Hier Q kann ein Dirac-Maß sein (im Wesentlichen geben 1 wenn der gewählte Punkt drin ist S , andernfalls null), wodurch Sie Punktladungen erhalten, oder Sie können auch volumetrische Ladungsdichten modellieren, indem Sie das fragen Q absolut stetig in Bezug auf das übliche Lebesgue-Maß sein μ , in diesem Fall ist die Ladungsdichte die Radon-Nikodym-Ableitung von Q gegenüber μ .

Wenn Sie die Maßnahme dann aus irgendeinem Grund auf eine Verteilung erweitern möchten, ist dies ganz einfach - verwenden Sie einfach die Funktion, die eine beliebige Funktion übernimmt F : R 3 → R zu seinem Integral in Bezug auf Q ,

F ↦ ∫ F ( R ) D Q ( R ) .
Aber nur weil die Ladungsverteilung zu einer Verteilung führen kann, heißt das noch lange nicht, dass sie das auch wirklich ist − Was es wirklich ist, ist ein Maß.

* Wie in den Kommentaren angemerkt, kann der Lebesgue-Maß-Ansatz nicht in der Lage sein, singuläre multipolare Ladungsverteilungen wie die Punkt-Dipol-Ladungsdichte zu beschreiben ρ ( R ) = P δ ' ( X ) δ ( j ) δ ( z ) und seine Angehörigen. Diese sind von Bedeutung, und wenn Sie sie beschreiben möchten, müssen Sie die Ladungsdichte vom vorzeichenbehafteten Maß zur Verteilung erhöhen. Die Ladungsdichten, die Sie dadurch gewinnen (oder zumindest die multipolaren), integrieren sich jedoch über jedes gut erzogene Volumen zu Nullladung, sodass sie die gestellte Frage nicht beeinflussen.

Gibt es einen besonderen Grund, Ausschüttungen zu vermeiden und bei unterzeichneten Maßnahmen zu bleiben? Außerdem vermisst diese Einstellung von vorzeichenbehafteten Maßen Dinge wie multipolare Ladungsverteilungen.
@AbdelmalekAbdesselam Es tut es und es tut es nicht. Sie haben Recht, dass Sie mit dem Formalismus nicht die Felder erhalten, die diese Ladungsverteilungen Ihnen geben, aber die Gesamtladung dieser Verteilungen integriert sich trotzdem zu Null.
"Die Gesamtladung dieser Verteilungen integriert sich zu Null": Ja. Was Sie also erhalten, ist Null (dh unsichtbar) als vorzeichenbehaftetes Maß, aber ungleich Null als Schwartz-Verteilung. Darüber hinaus erzeugen diese Dinge ein nichttriviales elektrostatisches Potential, selbst wenn die Gesamtladung Null ist.

Es gibt zwei Probleme: lokale Regelmäßigkeit und Zerfall im Unendlichen , die über die Fourier-Transformation in Dualität sind. Hier muss man Verteilungen in erster Linie einführen, um sehr schlechte lokale Regularitäten zuzulassen, wie sie beispielsweise in der idealisierten Situation einer Punktladung oder einer Oberflächenladungsverteilung usw. auftreten. Nehmen Sie in 1D eine positive Einheitsladung und konzentrieren Sie sie auf den Ursprung. Das benötigte Objekt ist dann die Delta-Funktion. Aber wenn Sie zwei solche Dinge mit entgegengesetzter Ladung nehmen und eine geeignete Grenze nehmen, wo Sie sie beide an den Ursprung setzen, erhalten Sie Dinge wie Dipole, die die Ableitung im Sinne von Verteilungen der Delta-Funktion erfordern, die kein vorzeichenbehaftetes Maß mehr ist wie in Emilios Antwort. Sie können dieses Spiel natürlich in einer höheren Dimension spielen und Multipole usw. generieren.

Jetzt hat Ihr Problem eher mit dem Zerfall im Unendlichen als mit der lokalen Regelmäßigkeit zu tun . Sie benötigen eine eingeschränkte Klasse von Verteilungen, die mit der konstanten Testfunktion gleich eins gespeist werden können. Obwohl Sie in den meisten Lehrbüchern über Distributionen (insbesondere in den "Mathematik für Physiker") nicht finden werden, dass Laurent Schwartz viele Leerzeichen außer berücksichtigt hat D , D ' , S , S ' . es gibt auch E , E ' , Ö M , Ö M ' , Ö C , Ö C ' , … Das, was Sie hier brauchen, denke ich, ist Ö C ' auch Raum der schnell abklingenden Verteilungen genannt .

Können Sie eine Quelle für die Arbeit von Schwartz mit Anwendungen in der PDE der mathematischen Physik angeben?
Die Arbeit von Schwartz ist in seinem Buch „Théorie des distributions“ gut zusammengefasst. Veröffentlichungen des Instituts für Mathematik der Universität Straßburg, Nr. IX-X. Nouvelle édition, entiérement corrigée, refondue et augmentée. Hermann, Paris 1966. Er erläutert die Definition und Rolle der Extraräume O_M und O_C. Für Anwendungen auf PDEs ist die kanonische Referenz die 4-bändige Sammlung von Hormander. Für Bewerbungen zum PDE der mathematischen Physik gibt es auch L. Schwartz, "Mathematics for the physical sciences". Hermann, Paris; Addison-Wesley Publishing Co., 1966.
Könnten Sie. bitte schau mal hier? math.stackexchange.com/questions/2511420/… .

S ( R 3 ) beinhaltet nicht die Funktion F ( R ) = 1 , enthält aber einen Funktionsablauf, der im relevanten Sinne darauf zielt.

Ausdrücklich, S ( R 3 ) schließt die Bump-Funktionen ein R 3 damit ich eine Funktion konstruieren kann, F N ( R ) , In S ( R 3 ) so dass.

F N ( R ) = 1 ∀ R ∈ B ¯ ( N l , 0 ) F N ( R ) = 0 ∀ R ∉ B ( ( N + 1 ) l , 0 )
Wo B ( N l , 0 ) Und B ¯ ( N l , 0 ) sind jeweils die offenen und geschlossenen Kugeln mit Radius N l auf den Ursprung zentriert. Klar können wir dann schreiben
Q = lim N → ∞ ( ρ , F N ) = lim N → ∞ ∫ D 3 R ρ ( R ) F N ( R )

Gewinnung der Ladung aus der Ladungsdichte mittels Verteilungstheorie
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