Welche Werte ergeben die minimale Fläche der Ellipse?

Wir verlangen, dass sich die beiden Kegelschnitte berühren. Eliminieren$x^2$führt auf die quadratische Gleichung

$$(A-B)y^2+2By-AB=0$$

Vorausgesetzt$A\neq B$, führt die Anwendung der Bedingung, dass die Diskriminante Null ist, zu der Gleichung

$$A^2-AB+B=0$$

Wir müssen jetzt die Fläche minimieren$\Delta=\pi\sqrt{AB}$.

Daher können wir differenzieren

$$\Delta^2=\pi^2AB=\pi^2\frac{A^3}{A-1}$$

Das Setzen der Ableitung auf Null ergibt

$$A=\frac 32, B=\frac 92$$

Es ist leicht ersichtlich, dass dies die minimale Fläche liefert, da es kein Maximum gibt. Daher sind die Halbachsen

$$\sqrt{A}=\sqrt{\frac 32}, \sqrt{B}=\frac{3}{\sqrt{2}}$$

Die minimale Ellipsenfläche ist dann

$$\frac{3\sqrt{3}}{2}\pi$$

Das Problem wurde bereits gelöst. Wenn ich einen zweiten Kreis setze$x^2+(y+1)^2=1$Im Diagramm ist das Problem:

Was ist die Ellipse der kleinsten Fläche, die zwei nicht überlappende Einheitskreise umschließen kann?

Auf Erich Friedmans Packing Center wird folgende Antwort von James Buddenhagen gegeben:

Die Ellipse, die sowohl das obige Problem als auch die ursprüngliche Frage löst, hat eine große Halbachse$\frac{3}{\sqrt2}$, kleine Halbachse$\sqrt\frac32$und Bereich$\frac{3\sqrt3\pi}2$.

Aus der Gleichung$x^2+(y-1)^2=1$, der Kreis hat einen Mittelpunkt$(0, 1)$und Radius$1$. Daher die Punkte drauf mit Minimum und Maximum$x$Und$y$Werte sind$(0, 0), (1, 1), (0, 2), (-1, 1)$.

Da die Ellipse ihren Mittelpunkt im Ursprung hat, darf sie max$y$Wert von mind$2$und max$x$Wert von mind$1$.

Für die Gleichung$\dfrac{x^2}{A}+\dfrac{y^2}{B}=1$, Dies bedeutet, dass$A \ge 1$Und$B \ge 4 = 2^2$.

Wenn die Ellipse jedoch oben stärker gekrümmt ist als der Kreis, schneidet sie den Kreis. Der Krümmungsradius der Ellipse mit$A=1, B=4$Ist$\frac{a}{b} =\frac14$, die kleiner ist als die des Kreises, der ist$1$. Also müssen wir die Werte von ändern$A$Und$B$sodass die Ellipse den Kreis berührt.

Eine einfache Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, die Ellipse zu einem Kreis mit Radius zu machen$2$, so sind die Werte$A=B=4$.

Eine andere Möglichkeit ist zu machen$A$etwas größer u$B$größer, so dass die Ellipse den Kreis an zwei Punkten tangiert. Ich denke, für jeden$A> 1$, der Wert von$B$was dies bewirkt, könnte bestimmt werden, aber ich habe keine Lust, das herauszufinden. Die gewünschte Antwort wäre diejenige, die minimiert$AB$.