Welchen Ordnungstyp hat die Menge der natürlichen Zahlen, wenn sie in alphabetischer Reihenfolge geschrieben wird?

Wir alle kennen die Standardnomenklatur für die kleineren natürlichen Zahlen, wie z

eins, zwei, drei, ..., einhundert, einhunderteins, ..., fünfzehntausendzweihundertneunundvierzig.

Ich denke dabei an die einfachen amerikanischen Namenskonventionen für Zahlen , zusammen mit den Namen für große Zahlen . ( Update Names of large numbers scheint gründlicher zu sein. Hinweis für Wikipedianer: sollte diese beiden Seiten wahrscheinlich irgendwie zusammenführen.)

Vorabfrage. Gibt es ein sinnvolles Namenssystem, das für jede natürliche Zahl einen kanonischen Namen bereitstellt?

Das heißt, ich möchte ein Namenssystem, das das aktuelle Namenssystem sinnvoll erweitert, sodass jede Nummer einen eindeutigen Namen bekommt. Bitte geben Sie ein System an und erklären Sie, warum es sinnvoll ist.

Wenn es zum Beispiel eine natürliche Möglichkeit gäbe, die lateinische Namenskonvention auf unbestimmte Zeit zu erweitern, wäre das großartig.

Lassen Sie mich annehmen, dass einige von Ihnen in der Lage sein werden, ein solches Benennungssystem bereitzustellen.

Hauptfrage. Welchen Ordnungstyp hat die Menge der natürlichen Zahlen, wenn sie in alphabetischer Reihenfolge geschrieben wird?

Beispielsweise wird die Bestellung nicht mit der Bestellung übereinstimmen ω der natürlichen Zahl selbst, da es vermutlich unendlich viele Zahlen geben wird, die mit "o" beginnen, wie bei einhundert, einer Million, eintausend und so weiter, und diese werden alle alphabetisch vor zweihundert, zwei Millionen, zweitausend stehen usw.

Die Auftragsart wird also wahrscheinlich natürlich zusammenhängen L × 26 für etwas Ordnung L , oder eigentlich weniger als 26 , da wahrscheinlich nicht jeder Buchstabe ein legitimer Anfangsbuchstabe eines Nummernnamens sein wird.

Denkbar ist, dass die Auftragsart von syntaktischen Merkmalen der Namenskonvention abhängt.

Hier ein Teil der Bestellung, für Zahlen bis 100: (aus hervé graumann 1988 )

1) eight

2) eighteen

3) eighty

4) eighty-eight

5) eighty-five

6) eighty-four

7) eighty-nine

8) eighty-one

9) eighty-seven

10) eighty-six

11) eighty-three

12) eighty-two

13) eleven

14) fifteen

15) fifty

16) fifty-eight

17) fifty-five

18) fifty-four

19) fifty-nine

20) fifty-one

21) fifty-seven

22) fifty-six

23) fifty-three

24) fifty-two

25) five

26) forty

27) forty-eight

28) forty-five

29) forty-four

30) forty-nine

31) forty-one

32) forty-seven

33) forty-six

34) forty-three

35) forty-two

36) four

37) fourteen

38) hundred

39) nine

40) nineteen

41) ninety

42) ninety-eight

43) ninety-five

44) ninety-four

45) ninety-nine

46) ninety-one

47) ninety-seven

48) ninety-six

49) ninety-three

50) ninety-two

51) one

52) seven

53) seventeen

54) seventy

55) seventy-eight

56) seventy-five

57) seventy-four

58) seventy-nine

59) seventy-one

60) seventy-seven

61) seventy-six

62) seventy-three

63) seventy-two

64) six

65) sixteen

66) sixty

67) sixty-eight

68) sixty-five

69) sixty-four

70) sixty-nine

71) sixty-one

72) sixty-seven

73) sixty-six

74) sixty-three

75) sixty-two

76) ten

77) thirteen

78) thirty

79) thirty-eight

80) thirty-five

81) thirty-four

82) thirty-nine

83) thirty-one

84) thirty-seven

85) thirty-six

86) thirty-three

87) thirty-two

88) three

89) twelve

90) twenty

91) twenty-eight

92) twenty-five

93) twenty-four

94) twenty-nine

95) twenty-one

96) twenty-seven

97) twenty-six

98) twenty-three

99) twenty-two

100) two

101) zero

Lassen Sie mich hinzufügen, dass ich nicht unbedingt erwarte, dass die Reihenfolge gut ist. Zum Beispiel, wenn wir eine Namenskonvention haben, wobei 10 k ist für groß vertreten k einfach durch Wiederholen von "penpenpenpen ⋯ pen", dann könnten wir über penpenpenpen eine absteigende Sequenz machen ⋯ Stift zwölf, was absteigen würde, wenn die Anzahl der Stifte zunimmt, da wir t durch p ersetzen würden.

Für diese Frage wurde ich von einem Puzzle inspiriert, das ich kürzlich online gesehen habe, vielleicht auf Twitter, aber ich kann es jetzt nicht finden. Es war ein Sequenzfortsetzungsrätsel, bei dem ein kurzes Anfangssegment der Reihenfolge (für Zahlen bis 100) angegeben und dann gefragt wurde, was als nächstes kommt?
Ich habe eine Methode, um die Namen von Zahlen im Alphabet zu schreiben: For N schreiben Sie einfach eine Zeichenfolge von N + 1 mal den Buchstaben "a". So 0 is "a", and "aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa" is 345 . Jetzt ist wieder die Auftragsart ω !
Ja, Asaf, vielleicht ist das "vernünftig".
@Wojowu Großartig! Ich denke, das Rätsel liegt in der Luft.
Lassen Sie mich hinzufügen, dass das Rätsel auf reddit nicht beantwortet wird, obwohl sie Hinweise auf einige mögliche Namenskonventionen haben und auch erkennen, dass die Reihenfolge möglicherweise unbegründet ist.
Laut einer der Websites 10 300 ist eine Novemnonagintillion in der amerikanischen Konvention. Aber was stellst du dir vor 10 10 300 könnte dann angerufen werden?
Ich glaube nicht, dass die amerikanische Konvention vollständig ist, und der Sinn meiner einleitenden Frage besteht darin, eine Namenskonvention zu beschreiben, also eine, die Antworten auf all diese Fragen gibt.
@Holo: Ja, das war die Idee.
@AsafKaragila wird es nicht einen Auftragstyp haben, der etwas größer ist als ω ? a,aa,aaa,...,b,ba,baa,baaa,...,c,...,...,bb,bba,...
@Holo: Wenn Sie eine natürliche Zahl kennen N die nicht als Zeichenfolge dargestellt werden kann N + 1 "a", dann können wir über das Hinzufügen von "b" und "c" zur Darstellung sprechen.
@AsafKaragila Wenn es sich um ein Nicht-Standard-Modell von PA handelt, hat es ein Anfangssegment, das isomorph zum normalen Modell ist, und jedes Element außerhalb davon befindet sich nicht in den "a".
@Holo: Es wird sein, dass die Zeichenfolge nur mit einer nicht standardmäßigen Ganzzahl indiziert wird.
Eigentlich sind nicht einmal alle englischen Muttersprachler mit dem Namensschema Ihres ersten Beispiels „vertraut“: Im britischen Englisch wird 15.249 als „fünfzehntausendzweihundertneunundvierzig “ vorgelesen . Abgesehen davon lautet die Form Ihrer Frage: "Erfinden Sie bitte etwas Schönes und sagen Sie mir dann, welche Eigenschaften es hat". Dies ist keine gute MSE-Frage.
@RobArthan Ja, ich habe gerade auf Twitter erfahren, wie die Briten „und“ in Zahlen verwenden, nachdem ich diese Frage gepostet hatte; danke für die Korrektur. In der Zwischenzeit geht es nicht unbedingt um Erfindungen, da ich erfahren habe, dass es mehrere Benennungssysteme für Zahlen gibt, darunter Systeme von Knuth und Conway, und ich nehme an, wir werden in Kürze Antworten erhalten, die sie zusammenfassen. Was den Auftragstyp betrifft, so neige ich zu der Annahme, dass es sich eher um eine dichte Ordnung handeln wird als um eine gute Ordnung, wie viele zunächst erwartet hatten. Abschließend tut es mir leid, dass Ihnen die Frage nicht gefällt; Ich finde es ziemlich interessant.
@JDH: Es ist interessant, aber zu offen. Warum arbeiten Sie nicht an den spezifischen Systemen, die Sie kennengelernt haben, und kommen dann mit einigen spezifischen Fragen zu Ihren Problemen zurück? Sie können nicht einfach sagen "Ich denke, es wird etwas näher an einer dichten Ordnung sein", wenn Sie kein bestimmtes System im Sinn haben.
Ich hatte die vorläufige Frage gestellt, weil ich annahm, dass es bereits etablierte Systeme gab, von denen ich nichts wusste, und ich annahm, dass die Leute posten würden, um sie zu erklären. Und tatsächlich gibt es solche Systeme, von denen ich jetzt auf der reddit-Seite und aus der Twitter-Diskussion zu dieser Frage erfahren habe. Ich freue mich darauf, jemanden zu lesen, der hier einen Bericht über sie veröffentlicht; aber ich werde posten, wenn keine anderen Posts bevorstehen. Was die Analyse und das Finden des Auftragstyps angeht, denke ich, dass es nicht so einfach ist, die Aufträge zu beschreiben, da ich denke, dass die meisten von ihnen keine guten Aufträge sind.
In meiner Bemerkung über dichte Ordnungen hatte ich etwas Spezifischeres im Sinn, nachdem ich jetzt von dem Conway-Namensschema und dem Knuth-Namensschema erfahren habe.
Was ist ein Power Tower von zehn ω 'S?
Stellen Sie Zahlen im üblichen englischen Notationssystem „short scale“ dar, z. B. „million“, „billion“, „duodecillion“ usw. Nennen Sie eine Zahl a T e R M wenn es die Form hat " N Zillion', wobei Zillion eins von Millionen, Milliarden usw. ist. Dann sollte die Reihenfolge in diskret geordnete 'Blöcke' des Ordnungstyps Eine Zillion unterteilt werden, die aus all den Zahlen bestehen, deren führender Begriff " N Zillion" für einige behoben N zwischen 0--999. Somit hängt der genaue Ordnungstyp fast vollständig von der Menge der unendlichen Pfade durch den 26-verzweigten Baum der führenden Begriffe ab. N Millionen".
Der französische Künstler Claude Closky schrieb 1989 ein konzeptionelles Gedicht mit dem Titel „Die ersten tausend Zahlen in alphabetischer Reihenfolge“: ubu.com/concept/closky_1000.html

Antworten (1)

Betrachten wir das Benennungssystem für die Ziffernaussprache , bei dem man die Ziffern einer Zahl einfach der Reihe nach ausspricht, so dass 7216 ausgesprochen wird "sieben zwei eins sechs" und so weiter für jede Zahl. So erhalten wir ein Benennungssystem der Zahlen, und obwohl es die Standardnomenklatur nicht erweitert, halte ich es dennoch für durchaus sinnvoll, jeder natürlichen Zahl einen eindeutigen Namen zu geben. Dieses Benennungssystem wird manchmal tatsächlich für sehr große Zahlen verwendet, z. B. zum Ablesen der Nummer auf einer Kreditkarte, und es wird auch häufig verwendet, um kleine Zahlen eindeutig zu machen, z 50 Und 15 . Also ich finde es ein vernünftiges Namenssystem.

Lassen Sie uns die natürlichen Zahlen in Bezug auf dieses Namenssystem in alphabetischer Reihenfolge anordnen. Daher, 882746 erscheint alphabetisch davor 87 , die vorher erscheint 8734 . Beachten Sie, dass jedes Präfix eines Wortes früher in der alphabetischen Reihenfolge erscheint.

Satz. Der Ordnungstyp der natürlichen Zahlen, in alphabetischer Reihenfolge in Bezug auf das Ziffern-Aussprache-Namenssystem, ist genau

ω ⋅ ( 1 + Q ) + 1.

Nachweisen. Das heißt, wir haben 1 + Q viele Exemplare von ω , mit einem letzten Punkt oben.

Ich werde das Benennungssystem in Bezug auf die Basis zehn analysieren, aber eine ähnliche Analyse funktioniert unabhängig von der Basis.

Betrachten Sie zunächst die alphabetische Reihenfolge der zehn Ziffern selbst:

acht, fünf, vier, neun, eins, sieben, sechs, drei, zwei, null

Beachten Sie, dass diese Ziffernnamen frei von Präfixen sind – keiner von ihnen ist ein Anfangssegment eines anderen. Wenn wir also die Namen zweier Zahlen vergleichen, werden wir niemals in eine Situation geraten, in der ein Teil einer Ziffer mit einem Teil einer anderen kombiniert wird, um den alphabetischen Vergleich durchzuführen. Vielmehr ist die alphabetische Reihenfolge dieselbe wie die lexikalische Reihenfolge auf den Ziffernfolgen selbst, betrachtet in der alphabetischen Ziffernreihenfolge oben.

Die größte aller Zahlen in alphabetischer Reihenfolge ist Null, da keine andere Zahl mit dem Buchstaben "z" beginnt und diese Zahl daher alphabetisch als allerletzter Eintrag erscheint. Das erklärt das Finale + 1 in der Theorem-Behauptung.

Die kleinste Zahl in alphabetischer Reihenfolge ist dagegen 8 , da sie mit "e" beginnt und die einzigen anderen Zahlen, die mit "e" beginnen, ebenfalls mit beginnen 8 , möglicherweise gefolgt von weiteren Ziffern, und erscheint daher nach der einzelnen Ziffer 8 .

Die nächste Nummer danach 8 , alphabetisch, ist 88 und dann 888 Und 8888 usw. Ich behaupte, dass jede Zahl (außer 0 ) hat einen alphabetischen Nachfolger, der einfach eine Ziffer hinzuzufügen ist 8 am Ende der Dezimaldarstellung der Zahl. Zum Beispiel die nächste Zahl danach 532876 Ist 5328768 , weil jede andere Ziffernfolge oberhalb der ersten Zahl diese entweder verlängern oder von einer dieser Ziffern abweichen muss. Aber 5328768 wird unter jeder anderen höheren Abweichung oder Erweiterung liegen und ist daher ein Nachfolger. Ähnlich, 53287688 Und 532876888 sind die nächsten paar Zahlen, einfach mehr hinzufügen 8 ist am Ende.

Also jede Nummer außer 0 in alphabetischer reihenfolge folgt eine reihenfolge des reihenfolgetyps ω , die man durch einfaches Anheften erhält 8 S. Und so wird die Bestellung eine Anzahl von Kopien sein ω , plus einen weiteren Punkt 0 oben.

Lassen Sie mich argumentieren, dass diese Kopien von ω sind selbst dicht geordnet. Wenn eine Nummer M geht einem anderen voraus N alphabetisch, aber N ist nicht nur hinzufügen 8 's am Ende der Dezimaldarstellung von M , dann gibt es entweder eine alphabetisch aufwärts gerichtete Abweichung in den Ziffern von M Formen N , oder sonst N erweitert die Ziffern von M , aber schließlich mit einigen anderen Ziffern als 8 . Es ist leicht zu sehen, dass wir dazwischen eine andere Zahl finden können, die ebenfalls nicht nur addiert wird 8 S.

Vielleicht ist es am einfachsten, dies anhand eines Beispiels zu sehen. Die Nummer 7536 ist alphabetisch vor 752 , da "drei" alphabetisch früher als "zwei" ist. Zwischen diesen Zahlen können wir finden 75366 , die eine eigene Kopie von hat ω entstehen aus 753668 , 7536688 , 75366888 usw.

So werden die Blöcke von ω erhalten durch Anhängen 8 sind selbst dicht geordnet: zwischen zwei von ihnen können wir einen anderen finden.

Beachten Sie, dass es einen allerersten solchen Block von gibt ω in alphabetischer Reihenfolge die Nummern, nämlich der Block bestehend aus 8 , 88 , 888 und so weiter, die ganz am Anfang der Zahlen in alphabetischer Reihenfolge erscheinen.

Dagegen gibt es vor dem Finale keinen größten Block 0 , denn wenn uns irgendeine Zahl gegeben wird N , wir können einige andere Ziffern außer anhängen 8 bis zum Ende der Dezimaldarstellung und finden Sie dadurch eine weitere Kopie von ω über N in alphabetischer Reihenfolge.

Und so kam es dass der ω Blöcke, die durch Anhängen entstehen 8 sind selbst dicht geordnet, mit einem ersten solchen Block und keinem letzten solchen Block. Da es nur abzählbar viele Zahlen gibt, müssen wir genau haben 1 + Q viele solche Blöcke der Größe ω . Und mit dem letzten Punkt 0 Ganz oben folgt daraus, dass der Ordnungstyp der natürlichen Zahlen im Ziffern-Aussprache-Namenssystem genau ist

ω ⋅ ( 1 + Q ) + 1 ,
wie behauptet. ◻ .

Einige von uns hatten dieses Problem gestern Abend in Münster beim Bier diskutiert, darunter Stefan Hoffelner und Stefan Mesken, im Anschluss an meinen Vortrag beim Logik-Oberseminar in Münster . Stefan Hoffelner hatte vorgeschlagen, dass wir das Ziffern-Aussprache-Namenssystem in Betracht ziehen.

Lassen Sie mich abschließend sagen, dass mir scheint, dass die Merkmale des Ziffern-Aussprache-Benennungssystems im Wesentlichen in allen Benennungssystemen auftauchen werden, und daher erwarte ich, dass sich diese Art der Analyse auf die anderen Nomenklaturen erstrecken kann, mit vielleicht geringfügigen Unterschieden Endpunkteffekte.

Aktualisierung (Januar 2023). Ich habe in meinem Substack-Blog The Book of Numbers einen Aufsatz geschrieben, der eine grundlegende Darstellung dieser Frage und ihrer Antwort und verwandter Themen enthält .

Ich habe eine Frage zu einem wunderschönen Geometrievideo gestellt, das Sie gestern auf Twitter geteilt haben.
Welchen Ordnungstyp hat die Menge der natürlichen Zahlen, wenn sie in alphabetischer Reihenfolge geschrieben wird?
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