Widerspruch im Arbeitsenergiesatz für starre Körper?

Wir haben einen starren Körper in Ruhe. Auf ihn wirkt eine Kraft, die ihn zur Translation veranlasst (Schwerpunktsgeschwindigkeit ist$V_{cm}$) und rotieren um eine feste Achse mit$\omega$

Kleppner und Kolnekow beweisen:

Die von der Kraft geleistete Arbeit ist gleich der Änderung der kinetischen Energie des Massenschwerpunkts. So$W=\Delta K_{cm}=\frac{1}{2} m V_{c m}^{2}$und hier ist ihr Beweis

Um den translatorischen Anteil abzuleiten, beginnen wir mit der Bewegungsgleichung für den Massenmittelpunkt

$$\begin{aligned} \mathbf{F} &=M \frac{d^{2} \mathbf{R}}{d t^{2}} \\ &=M \frac{d \mathbf{V}}{d t} \end{aligned}$$ Die Arbeit, die verrichtet wird, wenn der Massenmittelpunkt um verschoben wird$d \mathbf{R}=\mathbf{V} d t$Ist $$\begin{aligned} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{R} &=M \frac{d \mathbf{V}}{d t} \cdot \mathbf{V} d t \\ &=d\left(\frac{1}{2} M V^{2}\right) \end{aligned}$$ Integrierend erhalten wir $$\oint_{\mathbb{R}}^{R_{i}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{R}=\frac{1}{2} M V_{b}^{2}-\frac{1}{2} M V_{a}^{2}$$

Wir wissen aber auch aus dem Arbeitssatz über die kinetische Energie, dass die von einer äußeren Kraft verrichtete Arbeit gleich der Änderung der kinetischen Energie des Körpers ist$W=\Delta K=\frac{1}{2} m V_{c m}^{2}+ \frac{1}{2} I \omega^{2}$.

Dann widersprechen sich diese beiden Gleichungen!

Kann mir bitte jemand helfen. Ich kann nicht schlafen