Widerstand zwischen zwei beliebigen Knoten auf einem unendlichen quadratischen Gitter

Diese Frage wird durch diesen xkcd-Comic
motiviert .

Das Problem ist in der Tat interessant, und meine erste Erinnerung beim Lesen war ein ähnliches Problem in dem Buch Problems in General Physics von IEIrodov (das meiner bescheidenen Meinung nach ein Meisterwerk ist).

Die Frage, die ich stellen wollte, ist, sind Verallgemeinerungen des Problems bekannt? Kann der Widerstand zwischen zwei beliebigen Knoten des Gitters als Funktion des Abstands zwischen den Knoten ermittelt werden?

Vielen Dank im Voraus!

@mark: Diese Frage bezieht sich auf den Widerstand zwischen zwei beliebigen Knoten.
Ich muss beachten, dass die Irodov-Lösung (unter Verwendung von Symmetrie und Überlagerung) nur für zwei benachbarte Knoten funktioniert.
@Kound Es ist funktional die gleiche Frage. Wenn Sie die Antworten auf die vorherige Frage im Detail gelesen hätten, hätten Sie die Antwort auf diese gewusst. Tatsächlich wurden beide Fragen mit einem Link zu genau derselben Webseite beantwortet.
Es gibt weitere Verallgemeinerungen, wie wäre es mit einem kubischen 3D-Gitter? n-kubisches Gitter?
@mark: Na ja, da stimme ich zu.
Ich habe mir die Freiheit genommen, Ihren Titel in etwas Informativeres zu ändern. "Nerd-Sniping" ist eine Tätigkeit, die keine Probleme mit sich bringt. Das Problem, nach dem Sie gefragt haben, ist unter dem Titel "das Nerd-Sniping-Problem" nicht allgemein bekannt.

Antworten (2)

Ja, es ist möglich. Zum Beispiel hat Kevin Brown hier und hier diese Tabelle eingeschlossen.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

also für das xkcd-problem lautet die antwort − 1 2 + 4 π ≈ 0,773 .

Wer ist dieser Kevin Brown? Ich habe sein Buch gekauft und weiß nichts über ihn.
@kmm: Er ist bewusst unauffällig. In MathPages erscheint sein Name auf Bildern der Titelseiten seiner Bücher und an einer anderen Stelle.
Das ist merkwürdig. Ich würde ihm einfach eine E-Mail schreiben wollen, in der ich ihm sage, dass ich sein Buch sehr genossen habe.

Soweit ich weiß, wird die erste Lösung des allgemeinen Problems von Cserti gegeben,

József Cserti. Anwendung der Gitter-Green-Funktion zur Berechnung des Widerstands eines unendlichen Netzwerks von Widerständen. Bin. J. Phys. 68 nr. 10, S. 896 (2000). doi:10.1119/1.1285881 , arXiv:cond-mat/9909120 [cond-mat.mes-hall])

unter Verwendung der Gitterfunktionen von Green (und es gibt Verweise auf frühere Teillösungen). Für Ihre erste Frage ist die Wiederholungsbeziehung, die den Widerstand zwischen Knoten in einem quadratischen Gitter angibt, Gleichung 32. Das Papier beschreibt auch, wie Asymptotiken für rechteckige Gitter, dreieckige Gitter, Waben und kubische Gitter in höheren Dimensionen gelöst oder abgeleitet werden.

Widerstand zwischen zwei beliebigen Knoten auf einem unendlichen quadratischen Gitter
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