Wie bekomme ich Observables, um die Unsicherheit zu berechnen?

Question

Wie bekomme ich Observables, um die Unsicherheit zu berechnen?

Physik
beobachtbar
Quantenmechanik
Heisenberg-Unschärfe-Prinzip

Reihenfolge

Gegeben sei ein unendliches Potentialquadrat gut mit $0<x<L$ , muss ich die Unsicherheiten von Ort und Impuls berechnen. Die Eigenzustände in der Positionsbasis sind

| E_{N} ⟩ \to ψ_{N} (X) = \sqrt{\frac{2}{L}} Sünde (\frac{N π X}{L}), N = 1, 2, 3, . . .

$\lvert E_n\rangle\to \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), n = 1,2,3,...$

Ich weiß, dass der Positionsoperator definiert ist durch $x$ , und der Impulsoperator ist definiert durch $-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}$ , sondern die Ungleichungsformel für Unsicherheit, die ist

Δ A Δ B \geq \frac{1}{2} | ⟨ [A, B] ⟩ |

$\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}\lvert \langle [A,B] \rangle\rvert$ erfordert keine Operatoren für Ort und Impuls, sondern entsprechende Observablen. Wie bekomme ich diese Observables?

Kenneth Goodenough

Ich bin mir nicht sicher, was das Problem ist, Observablen werden durch (hermitesche) Operatoren gegeben. Das heißt, Sie können einfach die Operatoren für Ort und Impuls für verwenden

A

$A$ Und

B

$B$ .

fffred

Die Verwirrung könnte dadurch entstehen, dass die rechte Seite auf einen bestimmten Zustand angewendet werden sollte. Rechts? Das ist im Grunde das, was die dreieckigen Klammern bedeuten. Ist das richtig?

David z

@KennethGoodenough das sollte wahrscheinlich eine Antwort sein.

Benutzer97261

Ein Beispiel ist:

< X^{2} > - (< X >)^{2} = △ X

$<x^{2}> - (<x>)^{2} = \triangle x$

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Wie bekomme ich Observables, um die Unsicherheit zu berechnen?

Ich bin mir nicht sicher, was das Problem ist, Observablen werden durch (hermitesche) Operatoren gegeben. Das heißt, Sie können einfach die Operatoren für Ort und Impuls für verwenden $A$ Und $B$ .
Die Verwirrung könnte dadurch entstehen, dass die rechte Seite auf einen bestimmten Zustand angewendet werden sollte. Rechts? Das ist im Grunde das, was die dreieckigen Klammern bedeuten. Ist das richtig?
@KennethGoodenough das sollte wahrscheinlich eine Antwort sein.
Ein Beispiel ist: $< X^{2} > - (< X >)^{2} = △ X$ $<x^{2}> - (<x>)^{2} = \triangle x$

valerio · Answer 1

Sie können in der Positionsdarstellung arbeiten. Es ist nicht schwer:

⟨ ψ ∣ [X, P] ∣ ψ ⟩ = ⟨ ψ ∣ (X P - P X) ∣ ψ ⟩ = = \int D X ψ^{*} (X) (- ich ℏ X \partial_{X} ψ (X) + ich ℏ \partial_{X} (X ψ (X))) = = - ich ℏ \int D X ψ^{*} (X ψ^{'} - (ψ + X ψ^{'})) = = ich ℏ \int D X ∣ ψ (X) ∣^{2} = ich ℏ

$\langle \psi \mid[x,p] \mid \psi \rangle = \langle \psi \mid (xp-px)\mid \psi \rangle =\\=\int dx \ \psi^*(x) \left(-i \hbar x \ \partial_x \psi(x) + i \hbar \ \partial_x (x \ \psi(x)) \right) = \\ =-i \hbar \int dx \ \psi^* \left(x \ \psi'-(\psi+x \ \psi')\right) = \\ =i \hbar \int dx \mid \psi(x)\mid^2 = i \hbar$

Was Sie erkennen müssen, ist, dass die Identitäten $\hat x = x$ Und $\hat p = -i \hbar \partial_x$ sind nur sinnvoll, wenn Sie die Operatoren in der Stellenbasis ausdrücken, also

⟨ X^{'} ∣ \hat{P} ∣ ψ ⟩ = - ich ℏ \partial_{X^{'}} ψ (X^{'}) ⟨ X^{'} ∣ \hat{X} ∣ ψ ⟩ = X^{'} ψ (X^{'})

$\langle x' \mid \hat p \mid \psi \rangle = -i \hbar \partial_{x'} \ \psi(x') \\ \langle x' \mid \hat x \mid \psi \rangle = x' \ \psi(x')$

Wo

⟨ X^{'} ∣ ψ ⟩ = ψ (X^{'})

$\langle x' \mid \psi \rangle = \psi(x')$

ist die Wellenfunktion in der Ortsbasis. Sie können auch die Impulsdarstellung wählen:

⟨ P^{'} ∣ \hat{P} ∣ ψ ⟩ = P^{'} \tilde{ψ} (P^{'}) ⟨ P^{'} ∣ \hat{X} ∣ ψ ⟩ = ich ℏ \partial_{P^{'}} \tilde{ψ} (P^{'}) ⟨ P^{'} ∣ ψ ⟩ = \tilde{ψ} (P^{'})

$\langle p' \mid \hat p \mid \psi \rangle = p' \tilde \psi(p')\\\langle p' \mid \hat x \mid \psi \rangle = i \hbar \partial_{p'} \tilde \psi(p')\\\langle p'\mid \psi \rangle =\tilde \psi(p')$

Das Ergebnis wird dasselbe sein.

Im Allgemeinen jedes Mal, wenn Sie einen hermiteschen Operator haben $A$ mit einem vollständigen Satz von Eigenvektoren $\{\mid a \rangle\}$ , können Sie im Prinzip Ihre Zustandsvektoren (Kets) und Operatoren in ausdrücken $\{\mid a \rangle\}$ Basis, aber die mathematische Form der Operatoren kann umständlich werden, wenn man die "falsche" Darstellung wählt. Beispielsweise ist der Impulsoperator ein netter Differentialoperator in der Positionsbasis $\{\mid x \rangle\}$ , könnte aber hässlich werden, wenn es in einer anderen Basis ausgedrückt wird.

Zurück zu dem, was Sie berechnen wollten, erhalten wir

Δ X Δ P \geq \frac{1}{2} ∣ ich ℏ ∣= \frac{ℏ}{2}

$\Delta x \Delta p \geq \frac 1 2 \mid i \hbar \mid = \frac \hbar 2$

Dies ist die bekannte Heisenbergsche Unschärferelation für Ort und Impuls.

Meinst du die Ungewissheit ist $i\hbar$ in diesem Fall? Aber sollte es nicht eine reelle Zahl sein?
@sequence Sie müssen den absoluten Wert nehmen und durch dividieren $2$ , so wird es $\hbar/2$ (Schauen Sie sich die Formel an, die Sie geschrieben haben).
@sequence Das Ergebnis ist $\Delta x \Delta p \geq \hbar/2$ , was die bekannte Heisenbergsche Unschärferelation ist. Ich habe die Berechnung in meine Antwort aufgenommen.

geniert · Answer 2

Observablen sind Operatoren, insbesondere sind sie vom selbstadjungierten Typ (mit diskretem Spektrum, das den gesamten Hilbert-Raum überspannt). Gegeben ein normalisierter Zustand $|\psi\rangle$ , der Erwartungswert eines Operators $A$ daraufhin wird definiert als $\langle A \rangle = \langle\psi |\, A\, |\psi\rangle$ ; äquivalent kann man beweisen, dass die Messunsicherheit des Bedieners $A$ auf den Staat $|\psi\rangle$ kann ausgedrückt werden als

Δ A_{| ψ ⟩} = {⟨ A^{2} ⟩}_{| ψ ⟩} - {(⟨ A ⟩)^{2}}_{| ψ ⟩} .

$\Delta A_{|\psi\rangle} = {\langle A^2 \rangle}_{|\psi\rangle} - {(\langle A\rangle)^2}_{|\psi\rangle}.$

Sie erhalten den Ausdruck des Anfangszustands und seine Wellenfunktion, daher können Sie die Erwartungswerte (beliebiger Potenzen) der Operatoren berechnen $\hat{x}$ Und $\hat{p}$ durch Einfügen des Identitätsoperators $1 = \int \textrm{d}x’ |x’ \rangle \langle x’ |$ links (bzw. rechts) und führen die Integrationen durch. Sie sollten am Ende die üblichen Integrale der Wellenfunktion gegen ihre Variable abzüglich der Ableitung erhalten.

Ich weiß, dass der Impulsoperator definiert ist als $-i\hbar \partial_x$ ...

Das ist falsch. Der Impulsoperator ist $\hat{p}$ und man hat $\langle x| \hat{p} |\psi\rangle = -i\hbar \partial_x \psi(x)$ .

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