Wie bestimmen wir die Temperatur eines Schwarzen Lochs?

Klassisch hast du genau recht.

Quantenmechanisch passiert etwas Seltsames. Es stellt sich heraus, dass die Art und Weise, wie wir definieren, was ein Teilchen ist und daher was das Vakuum ist, von unserer Vorstellung von Zeit abhängt – insbesondere stecken Sie fest, dass Teilchen Objekte sind, die Informationen in der Zeit vorwärts verbreiten, anstatt rückwärts in der Zeit.

In der allgemeinen Relativitätstheorie wissen wir jedoch, dass die Vorstellung von Zeit am Horizont eines Schwarzen Lochs nicht mit der Entfernung vom Schwarzen Loch äquivalent ist. Das bedeutet, wenn Sie eine Vakuumlösung weit entfernt vom Schwarzen Loch und in der fernen Vergangenheit des Schwarzen Lochs nehmen und sie zeitlich vorwärts verfolgen, werden Sie feststellen, dass sie erscheinen wird, wenn Sie das Schwarze Loch erreichen dass dieser Zustand Partikel enthalten wird! Darüber hinaus bewegen sich einige dieser Teilchen mit höherer Fluchtgeschwindigkeit und sind zu späteren Zeiten willkürlich weit vom Schwarzen Loch entfernt. Die Hawking-Strahlung ist also von Natur aus ein quantenmechanischer Effekt, der sich aus der Tatsache ergibt, dass die Definition eines „Teilchens“ in der Allgemeinen Relativitätstheorie mehrdeutig ist.

Wenn Sie dieses Gas aus strahlenden Teilchen analysieren, werden Sie außerdem feststellen, dass es genau einem Gas entspricht, dessen Temperatur proportional zur Gravitationskraft ist, die ein Beobachter am Horizont spürt, der in das Schwarze Loch fällt.

Die Temperatur wird nach dem Äquivalenzprinzip bestimmt und die Temperatur durch Beschleunigungsdetektoren detektiert.

Wenn ein Detektor immer in eine bestimmte feste Richtung mit Beschleunigung beschleunigt$a$, sieht es eine thermische Hintergrundtemperatur gleich$a/2\pi$. Dieser thermische Hintergrund ist mit dem Horizont verbunden, der durch das beschleunigende Teilchen gebildet wird, da ein Lichtstrahl in einer bestimmten Entfernung vom beschleunigten Beobachter niemals eingeholt wird.

Der Grund dafür ist, dass ein beschleunigter Pfad eine Hyperbel ist, weil die Beschleunigung die Krümmung des Partikelpfads durch die Raumzeit ist und die Krümmung konstant ist, und in der relativistischen Geometrie ist die Kurve mit konstanter Krümmung eine Hyperbel, genau wie in der euklidischen Geometrie es ist ein Kreis (das kommt vom Minuszeichen in der relativistischen Version des Satzes des Pythagoras).

Die hyperbolische Zeitkoordinate ist das Analogon des Winkels in euklidischen Polarkoordinaten, und wenn Sie eine Quantenfeldtheorie für die Beschleunigungskoordinaten formulieren, ist die imaginäre Zeitfortsetzung periodisch mit Periode$2\pi$, was bedeutet, dass die Theorie thermisch ist. Das ist ein wenig technisch, aber Sie können Unruhs Ergebnis einfach glauben. Für eine Freifeldtheorie, die mit einem Detektor interagiert, wie Photonen mit einem beschleunigten Atom interagieren, kann Unruhs Ergebnis, dass sich das Atom so verhält, als ob es sich in einer thermischen Umgebung befände, durch direkte Berechnungen der Reaktion eines beschleunigten Detektors verifiziert werden, nicht nur durch Phantasie Methoden.

Wenn Sie sich in der Nähe des Horizonts eines Schwarzen Lochs befinden, müssen Sie beschleunigen, um nicht hineinzufallen. Das bedeutet, dass Sie nach dem Äquivalenzprinzip eine Unruh-Temperatur sehen müssen. Diese Unruh-Temperatur liegt in der „t“-Koordinate des Äußeren, die in der Nähe des Horizonts in die winkelähnliche Unruh-Koordinate übergeht. Diese Strahlung muss selbstkonsistent sein, wenn Sie sich vom Schwarzen Loch entfernen, und die Bedingung für die Selbstkonsistenz ist, dass die Strahlung eine Temperatur hat, die um einen Betrag kleiner ist, der proportional zur Geschwindigkeit ist, mit der Uhren ticken. Je schneller sie ticken, desto kälter ist die Temperatur.

Wenn Sie die Unruh-Temperatur in der Nähe des Horizonts rotverschieben, um unendlich weit vom Schwarzen Loch entfernt zu sein, finden Sie eine endliche Antwort. Diese Antwort ist$8\pi M$, oder proportional zur Masse des Schwarzen Lochs. Dies ist gleichbedeutend damit, die analytische Fortsetzung der Lösung des Schwarzen Lochs zur imaginären Zeit zu finden und die Periodizität dieser Lösung zu identifizieren, und der Grund ist das obige physikalische Argument (da die Unruh-Strahlung eine Periodizität in der imaginären Zeit ist).

Dieses Argument war in der Vergangenheit verwirrend, weil die meisten Lösungen keine analytische Fortsetzung haben. Wie hängt eine physikalische Temperatur von der analytischen Fortsetzung ab? Es tut nicht wirklich. Das einzige, was verwendet wird, ist das Äquivalenzprinzip, um die Periodizität in der imaginären Zeit in der Nähe des Horizonts (wo es nur der Minkowski-Raum ist) mit der Periodizität in der Ferne zu verknüpfen. Mathematisch ist dies dasselbe wie die Periodizität in imaginärer Zeit der fortgesetzten allgemeinen relativistischen Lösung.

Diese Dinge werden etwas vollständiger und technischer auf Wikipedia unter Unruh-Effekt und Hawking-Strahlung erklärt .

Die Temperatur eines Schwarzen Lochs ist gegeben durch:

$T = \frac{\hbar c^3}{8\pi kGM} \tag{1}$

Wenn also die Masse des Schwarzen Lochs bekannt ist, können Sie normalerweise die Temperatur des Schwarzen Lochs berechnen, indem Sie den Einfluss berechnen, den das Schwarze Loch auf den umgebenden Raum hat.