Wie führt die Verwendung eines Bell-Zustands zu einer cos(18π)cos⁡(18π)\cos \left(\frac{1}{8}\pi \right)-Wahrscheinlichkeit, im CHSH-Spiel zu gewinnen?

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$

In der Tat, die Geschichte über$\cos\frac{\pi}{8}$, wird nicht oft erzählt, außer im Quantenmechanikunterricht, und selbst dort wird es oft als „Übung, die dem Leser überlassen wird“ überlassen. Diese Zahl ist nicht auf den ersten Blick ersichtlich, sondern das Ergebnis einer Optimierung und einer einfachen Anwendung quantenmechanischer Rechenregeln. Was in Ihrer Beschreibung anscheinend fehlt, um es zu finden, ist die Beschreibung der Messungen.

Um die Dinge (relativ) einfach zu halten, gehe ich davon aus, dass wir es mit einzelnen Photonen zu tun haben, die in Polarisation verwickelt sind, und ich werde nur lineare Polarisation betrachten. Lassen Sie durch bezeichnen$α$(rep.$β$) der Winkel, der die Messung von Alice (bzw. Bob) definiert. Messung der Polarisation eines einzelnen Photons in einer Richtung$α$, ist eine binäre Messung, gebend$0$wenn das Photon entlang orientiert ist$α$, Und$1$wenn es entlang orientiert ist$α+\frac{π}{2}$. Entlang dieser Richtung zu messen, ist gleichbedeutend damit, das Photon zunächst um einen Winkel zu drehen$-α$, und messen Sie es dann in der Vertikal-Horizontalen (auch bekannt als$α=0$) Grundlage. Diese Drehung ist eine lineare Transformation, die den Zustand von Alice wie folgt transformiert:

$$\ket{0}:↦\cosα\ket0 - \sinα \ket1$$ $$\ket{1}:↦\sinα\ket0 + \cosα \ket1$$ Bobs Staaten transformieren sich auf ähnliche Weise, was für den globalen Staat zu führt $$\frac{\ket{00}+\ket{11}}{\sqrt2}:↦\\(\cosα\cosβ+\sinα\sinβ)\frac{\ket{00}+\ket{11}}{\sqrt2}+(-\cosα\sinβ+\sinα\cosβ)\frac{\ket{01}-\ket{10}}{\sqrt2}$$

Um die optimale Messung für das CHSH-Spiel zu finden, müssen Sie dann über die möglichen Winkelsätze optimieren$(α,α',β,β')$. Natürlich hilft es bei dieser Optimierung, klug zu sein und trigonometrische Formeln zu kennen. (Wissend, dass die Antwort lautet$(0,\frac{π}{4},\frac{π}{8},\frac{3π}{8})$hilft auch!).

Den Gepflogenheiten der Praxis folgend, überlasse ich die komplette Berechnung als Übung dem Leser ;-).

Das zeigt übrigens nur, dass das CHSH-Spiel mit Quantenverschränkung mit 85% Erfolgsquote gewonnen werden kann. Die Tatsache, dass man es nicht besser machen kann, ist als Tsirelson-Grenze bekannt und beinhaltet lineare Algebra.

Fußnoten

¹: *Wenn es offensichtlicher wäre, könnten viele Diskussionen über die Natur der Verschränkung viel vor den 1960er Jahren stattgefunden haben *