Wo wird die Lokalität in der Ungleichung von CHSH/Bell verwendet?

Zur besseren Übersicht verwende ich hier die Notation$A_0$Und$A_1$, anstatt$A$Und$A'$, um die Ergebnisse für verschiedene Messaufbauten zu bezeichnen, und dasselbe mit$B$.

Die Erwartungswerte sind definiert als

$$E(A_xB_y)\equiv\int d\lambda\, q(\lambda)\, E_\lambda(A_xB_y) =\int d\lambda\, q(\lambda)\sum_{ab} ab \,p(ab|xy,\lambda),$$ Wo$q(\lambda)$ist die Wahrscheinlichkeit, dass die versteckte Variable den Wert hat$\lambda$, Und$p(ab|xy,\lambda)$ist die (gemeinsame) Wahrscheinlichkeit, die Ergebnisse zu erhalten$a$Und$b$angesichts der Messeinstellungen$x$Und$y$und versteckte Variable$\lambda$.

Die Lokalitätsannahme (plus Annahme der Unabhängigkeit der Messauswahl) ist eingebettet in die folgende Faktorisierung für$p$:

$$p(ab|xy,\lambda)=p(a|x,\lambda)p(b|y,\lambda).\tag A$$

Diese Beziehung muss man haben$E_\lambda(A_x B_y)=E_\lambda(A_x)E_\lambda(B_y)$, so dass

$$\begin{aligned} E(A_0B_0)+E(A_0B_1) &=\int d\lambda \,q(\lambda)[E_\lambda(A_0)E_\lambda(B_0)+E_\lambda(A_0)E_\lambda(B_1)] \\ &= \int d\lambda \,q(\lambda)E_\lambda(A_0)[E_\lambda(B_0)+E_\lambda(B_1)], \end{aligned}$$ Wo $$E_\lambda(A_x)\equiv\sum_a a \,p(a|x,\lambda),\quad E_\lambda(B_y)\equiv\sum_b b \,p(b|y,\lambda).$$ Ohne Lokalitätsannahme würde das obige nicht gelten.

Eine analoge Argumentation führt zu

$$E_\lambda(A_1B_0)-E_\lambda(A_1B_1) = E_\lambda(A_1)[E_\lambda(B_0)-E_\lambda(B_1)].$$

Die Schlussfolgerung ist jetzt von hier aus einfach. Definieren

$$S_\lambda\equiv E_\lambda(A_0B_0)+E_\lambda(A_0B_1)+E_\lambda(A_1B_0)-E_\lambda(A_1B_1).$$ Dann haben wir unter Verwendung der obigen Gleichungen $$S_\lambda= E_\lambda(A_0)[E_\lambda(B_0)+E_\lambda(B_1)] + E_\lambda(A_1)[E_\lambda(B_0)-E_\lambda(B_1)].$$ Die Dreiecksungleichung zusammen mit der Tatsache, dass wir per Definition der Zahlen, die wir den möglichen Ausgängen zuordnen, haben$0\le E_\lambda(A_i)\le 1$, gibt jetzt $$\lvert S_\lambda\rvert\le \lvert E_\lambda(B_0)+E_\lambda(B_1)\rvert + \lvert E_\lambda(B_0) - E_\lambda(B_1)\rvert = 2 \max(E_\lambda(B_1),E_\lambda(B_2)).$$ Verwenden Sie das per Definition wieder$0\le E_\lambda(B_i)\le 1$, Wir schließen daraus$\lvert S_\lambda\rvert \le 2$.

Das volle$S$wird jetzt durch Mittelwertbildung definiert$S_\lambda$über die verborgene Variable$\lambda$, und weil eine konvexe Mischung von Zahlen in$[-2,2]$bleibt drin$[-2,2]$kommen wir zum Schluss:

$$\lvert S\rvert\le 2.$$

Aber wir könnten den gleichen Trick machen, wenn A auch von b abhängt, also wo wird Lokalität verwendet?

Nein, das konntest du nicht.

Wenn das Ergebnis von$A$hängt direkt davon ab$B$, dann gilt (A) nicht, also werden die Wahrscheinlichkeiten nicht faktorisiert ($E(AB)\neq E(A)E(B)$), daher$E(A_0B_0)+E(A_0B_1)\neq E(A_0(B_0+B_1))$, daher kann das CHSH-Argument nicht angewendet werden.

Sind Erwartungen nicht immer linear?

In der Tat sind sie es . Die Ortsannahme wird nicht für die Linearität benötigt, sondern um die Wahrscheinlichkeiten/Erwartungswerte zu faktorisieren, um sie in die Form zu bringen$E_\lambda(A_0)[E_\lambda(B_0)+E_\lambda(B_1)]$, an welcher Stelle das CHSH-Argument gilt.